Öffnen Lösungen PDF – Kongruenzsätze
Kongruenzsatz SSS
Gegeben sind zwei Dreiecke: A(3/2), B(5/4), C(1/4) und D(4/2), E(6/4), F(2/4). Zeige, dass die beiden Dreiecke kongruent zueinander sind.
Lösung:
Um zu zeigen, dass die beiden Dreiecke kongruent sind, müssen wir nachweisen, dass alle drei Seiten und alle drei Winkel übereinstimmen.
Zunächst berechnen wir die Längen der Seiten:
- AB = √[(5-3)² + (4-2)²] = 2√2
- BC = √[(1-5)² + (2-4)²] = 2√2
- AC = √[(1-3)² + (2-2)²] = 2
- DE = √[(6-4)² + (4-2)²] = 2√2
- EF = √[(2-6)² + (4-4)²] = 4
- DF = √[(2-4)² + (4-2)²] = 2√2
Da alle drei Seitenlängen übereinstimmen, haben wir die Kongruenz der beiden Dreiecke nachgewiesen.
Kongruenzsatz SWS
Gegeben sind zwei Dreiecke: A(0/0), B(4/0), C(2/3) und D(8/0), E(12/0), F(10/3). Zeige, dass die beiden Dreiecke kongruent zueinander sind.
Lösung:
Um zu zeigen, dass die beiden Dreiecke kongruent sind, müssen wir nachweisen, dass zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel übereinstimmen.
Zunächst berechnen wir die Längen der Seiten:
- AB = 4
- AC = √[(2-0)² + (3-0)²] = √13
- DE = 4
- DF = √[(10-8)² + (3-0)²] = √13
Weiterhin berechnen wir den eingeschlossenen Winkel:
- cos(∠A) = (4² + √13² – 3²) / (2 * 4 * √13) = √13 / 4
- cos(∠D) = (4² + √13² – 3²) / (2 * 4 * √13) = √13 / 4
Da zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel übereinstimmen, haben wir die Kongruenz der beiden Dreiecke nachgewiesen.
Kongruenzsatz WSW
Gegeben sind zwei Dreiecke: A(0/0), B(0/4), C(3/2) und D(0/8), E(0/12), F(3/10). Zeige, dass die beiden Dreiecke kongruent zueinander sind.
Lösung:
Um zu zeigen, dass die beiden Dreiecke kongruent sind, müssen wir nachweisen, dass ein Winkel, eine Seite und der anliegende Winkel übereinstimmen.
Zunächst berechnen wir die Längen der Seiten:
- AB = 4
- AC = √[(3-0)² + (2-0)²] = √13
- DE = 4
- DF = √[(3-0)² + (10-8)²] = √13
Weiterhin berechnen wir den Winkel am Punkt A:
- tan(∠BAC) = 4 / 3
- tan(∠EDF) = 4 / 3
Schließlich berechnen wir den anliegenden Winkel:
- cos(∠C) = ((3-0)² + (2-4)² + (0-0)² – (3-0)² – (2-0)² – (0-4)²) / (-2 * √13 * 2) = -1/2
- cos(∠F) = ((3-0)² + (10-8)² + (0-0)² – (3-0)² – (10-0)² – (0-8)²) / (-2 * √13 * 4) = -1/2
Da ein Winkel, eine Seite und der anliegende Winkel übereinstimmen, haben wir die Kongruenz der beiden Dreiecke nachgewiesen.
Kongruenzsatz Winkelsatz
Gegeben sind zwei Dreiecke: A(1/1), B(2/2), C(3/1) und D(6/1), E(7/2), F(8/1). Zeige, dass die beiden Dreiecke kongruent zueinander sind.
Lösung:
Um zu zeigen, dass die beiden Dreiecke kongruent sind, müssen wir nachweisen, dass alle drei Winkel übereinstimmen.
Zunächst berechnen wir die Winkel des Dreiecks ABC:
- ∠A = arctan(1/2)
- ∠B = arctan(1)
- ∠C = arctan(-1/2)
Weiterhin berechnen wir die Winkel des Dreiecks DEF:
- ∠D = arctan(1/2)
- ∠E = arctan(1)
- ∠F = arctan(-1/2)
Da alle drei Winkel übereinstimmen, haben wir die Kongruenz der beiden Dreiecke nachgewiesen.
Kongruenzsatz Hypotenusensatz
Gegeben sind zwei Dreiecke: A(0/0), B(4/0), C(0/3) und D(0/0), E(8/0), F(0/6). Zeige, dass die beiden Dreiecke kongruent zueinander sind.
Lösung:
Um zu zeigen, dass die beiden Dreiecke kongruent sind, müssen wir nachweisen, dass eine Hypotenuse und ein Kathetensatz übereinstimmen.
Zunächst berechnen wir die Längen der Hypotenuse:
- AC = √[(0-0)² + (3-0)²] = 3
- DF = √[(8-0)² + (6-0)²] = 10
Weiterhin berechnen wir die Längen der Katheten:
- AB = 4
- BC = 3
- DE = 8
- EF = 6
Da eine Hypotenuse und ein Kathetensatz übereinstimmen, haben wir die Kongruenz der beiden Dreiecke nachgewiesen.
In der 7. Klasse beschäftigen sich Schülerinnen und Schüler in Mathematik unter anderem mit dem Thema Kongruenzsätze. Dabei geht es darum, geometrische Figuren auf Kongruenz zu überprüfen und herauszufinden, ob sie deckungsgleich sind.
Was sind Kongruenzsätze?
Kongruenzsätze sind mathematische Regeln, nach denen man überprüfen kann, ob zwei Figuren deckungsgleich sind. Eine Figur ist deckungsgleich mit einer anderen Figur, wenn sie exakt dieselbe Form und Größe hat.
Es gibt drei Kongruenzsätze:
- Der SWS-Satz (Seite-Winkel-Seite)
- Der SAS-Satz (Seite-Winkel-Seite)
- Der SSA-Satz (Seite-Seite-Winkel)
Um eine Kongruenz zu beweisen, muss man zeigen, dass mindestens eine dieser Bedingungen erfüllt ist.
Kongruenzsätze Aufgaben mit Lösungen für die 7. Klasse
Um das Verständnis für Kongruenzsätze zu vertiefen, bieten sich Übungsaufgaben an. Hier sind einige Beispiele:
| Aufgabe | Lösung |
|---|---|
| Gegeben sind zwei Dreiecke mit den Seitenlängen a = 5 cm, b = 7 cm und c = 8 cm. Zeigen Sie, dass die Dreiecke kongruent sind. | Das erste Dreieck hat den Umfang u1 = 5 + 7 + 8 = 20 cm.Das zweite Dreieck hat den Umfang u2 = 5 + 7 + 8 = 20 cm.Da beide Dreiecke denselben Umfang haben und die Seitenlängen übereinstimmen, sind sie kongruent nach dem SSS-Satz (Seite-Seite-Seite). |
| Gegeben sind zwei Dreiecke mit den Seitenlängen a = 4 cm, b = 6 cm und c = 8 cm. Zeigen Sie, dass die Dreiecke kongruent sind. | Das erste Dreieck hat den Umfang u1 = 4 + 6 + 8 = 18 cm.Das zweite Dreieck hat den Umfang u2 = 4 + 6 + 8 = 18 cm.Da beide Dreiecke denselben Umfang haben und die Seitenlängen übereinstimmen, sind sie kongruent nach dem SSS-Satz (Seite-Seite-Seite). |
Fazit
Kongruenzsätze sind ein wichtiger Bestandteil der Geometrie und können Schülerinnen und Schülern helfen, geometrische Figuren besser zu verstehen und zu beschreiben. Durch Übungsaufgaben kann man das Verständnis vertiefen und die Anwendung der Kongruenzsätze üben.
Quelle: Eigene Zusammenstellung