Öffnen Lösungen PDF – Prüfung Mathe
Übung 1: Prozentrechnung
Ein Auto kostet 20.000€. Der Händler gewährt einen Rabatt von 10%. Wie viel muss der Kunde bezahlen?
Lösung:Zuerst muss der Rabatt berechnet werden:
Rabatt = 20.000€ * 10% = 2.000€
Der Kunde muss also nur noch den reduzierten Preis bezahlen:
Preis nach Rabatt = 20.000€ – 2.000€ = 18.000€
Übung 2: Lineare Funktionen
Gegeben ist die lineare Funktion f(x) = 2x – 3. Berechne den Funktionswert für x = 5.
Lösung:Der Funktionswert wird berechnet, indem man x in die Funktion einsetzt:
f(5) = 2 * 5 – 3 = 7
Der Funktionswert für x = 5 ist also 7.
Übung 3: Binomische Formeln
Vereinfache den Ausdruck (a + b)².
Lösung:Gemäß der binomischen Formel lautet der Ausdruck (a + b)² = a² + 2ab + b².
Übung 4: Trigonometrie
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a = 4 und b = 3. Berechne die Länge der Hypotenuse c und den Kosinus des Winkels α.
Lösung:Die Länge der Hypotenuse c wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet:
c² = a² + b² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
c = √25 = 5
Der Kosinus des Winkels α wird berechnet, indem man das Verhältnis von Ankathete und Hypotenuse bildet:
cos(α) = a/c = 4/5
Übung 5: Quadratische Funktionen
Gegeben ist die quadratische Funktion f(x) = x² – 2x + 1. Berechne die Nullstellen.
Lösung:Die Nullstellen werden berechnet, indem man die Gleichung f(x) = 0 löst:
x² – 2x + 1 = 0
Diese Gleichung kann durch Umformen in eine quadratische Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 gebracht werden:
(x – 1)² = 0
Daraus ergibt sich die doppelte Nullstelle x = 1.
Übung 6: Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ein Würfel wird einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln?
Lösung:Ein Würfel hat sechs mögliche Augenzahlen: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Davon sind drei gerade und drei ungerade.
Die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln, beträgt daher 3/6 = 0,5 oder 50%.
Übung 7: Geometrie
Gegeben ist ein Kreis mit dem Radius r = 5 cm. Berechne den Flächeninhalt des Kreises und den Umfang.
Lösung:Der Flächeninhalt des Kreises wird berechnet mit der Formel A = πr²:
A = π * 5² = 78,54 cm²
Der Umfang des Kreises wird berechnet mit der Formel U = 2πr:
U = 2π * 5 = 31,42 cm
Übung 8: Funktionen
Gegeben ist die Funktion f(x) = 3x – 1 und die Funktion g(x) = x². Berechne die Komposition f(g(x)).
Lösung:Die Komposition f(g(x)) bedeutet, dass man die Funktion g(x) in die Funktion f(x) einsetzt:
f(g(x)) = 3g(x) – 1 = 3x² – 1
Die Komposition von f und g ergibt also die Funktion f(g(x)) = 3x² – 1.
Übung 9: Vektoren
Gegeben sind die Vektoren a = (2, 3) und b = (-1, 4). Berechne den Betrag des Vektors a und den Skalarprodukt der Vektoren a und b.
Lösung:Der Betrag des Vektors a wird berechnet mit der Formel ||a|| = √(2² + 3²):
||a|| = √(4 + 9) = √13
Das Skalarprodukt der Vektoren a und b wird berechnet mit der Formel a · b = ax * bx + ay * by:
a · b = 2 * (-1) + 3 * 4 = 10
Übung 10: Differentialrechnung
Gegeben ist die Funktion f(x) = x³ – 3x² + 2x + 1. Berechne die Ableitung f'(x).
Lösung:Die Ableitung der Funktion f(x) wird berechnet, indem man jeden Summanden der Funktion einzeln ableitet:
f'(x) = 3x² – 6x + 2
Die Ableitung der Funktion f(x) ist also f'(x) = 3x² – 6x + 2.
Die Prüfung in Mathematik der Klasse 10 kann eine Herausforderung sein. Doch mit ausreichender Vorbereitung und Übung kann man sich gut darauf vorbereiten. Hier sind einige Lösungen zu typischen Aufgaben, die in der Prüfung vorkommen können:
Algebra
In der Algebra geht es vor allem um das Lösen von Gleichungen und Ungleichungen. Hier ist ein Beispiel:
Beispiel: Löse die Gleichung 2x + 5 = 15.
Lösung:
- Ziehe 5 von beiden Seiten ab: 2x = 10
- Teile durch 2: x = 5
Geometrie
In der Geometrie geht es um das Verstehen von Formen und Figuren. Hier ist ein Beispiel:
Beispiel: Berechne den Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge 4cm.
Lösung:
Die Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats lautet A = a², wobei a die Seitenlänge ist. Also ist A = 4cm x 4cm = 16cm².
Statistik
In der Statistik geht es um das Sammeln, Auswerten und Darstellen von Daten. Hier ist ein Beispiel:
Beispiel: In einer Klasse mit 25 Schülern haben 15 Schüler eine Eins in Mathematik, 5 Schüler haben eine Zwei und die restlichen Schüler haben eine Drei oder schlechter. Wie groß ist der Anteil der Schüler mit einer Eins?
Lösung:
- Berechne die Gesamtzahl der Schüler mit einer Eins oder Zwei: 15 + 5 = 20
- Berechne den Anteil: 20 / 25 = 0,8 oder 80%
Fazit
Mit diesen Beispielen sollte man in der Prüfung gut vorbereitet sein. Es ist jedoch wichtig, auch andere Themen wie Analysis und Stochastik zu üben und zu verstehen. Eine gute Vorbereitung ist der Schlüssel zum Erfolg!
| Nützliche Links |
|---|
| Mathebibel.de |
| Schulminator.com |
| Mathe-Online.at |
Disclaimer: Die Lösungen zu den Aufgaben dienen lediglich zur Orientierung und können von den tatsächlichen Lösungen in der Prüfung abweichen.