Öffnen Lösungen PDF – Strahlensatz
Beispiel 1:
Gegeben ist ein Dreieck ABC mit der Seitenlänge a=12cm, b=9cm und c=15cm. Eine Höhe h_a teilt die Seite c im Verhältnis 2:3. Bestimme die Länge der Höhe h_a.
Lösung:
- Wir berechnen den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit der Heron-Formel:
- Wir berechnen die Länge der Seite c mit dem Satz des Pythagoras:
- Wir setzen die gegebenen Größen in den Strahlensatz ein:
| s | = | (a+b+c)/2 | = | (12+9+15)/2 | = | 18 |
| A | = | sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)) | = | sqrt(18(18-12)(18-9)(18-15)) | = | 54 cm² |
| c² | = | a² + b² | = | 12² + 9² | = | 225 |
| c | = | sqrt(225) | = | 15 cm |
| h_a/c | = | 2/3 | ||||
| h_a | = | c * h_a/c | = | 15 * 2/3 | = | 10 cm |
Übung 1:
Gegeben ist ein Dreieck ABC mit der Seitenlänge a=7cm, b=10cm und c=12cm. Eine Höhe h_b teilt die Seite a im Verhältnis 3:4. Bestimme die Länge der Höhe h_b.
Lösung:
- Wir berechnen den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit der Heron-Formel:
- Wir setzen die gegebenen Größen in den Strahlensatz ein:
| s | = | (a+b+c)/2 | = | (7+10+12)/2 | = | 14,5 |
| A | = | sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)) | = | sqrt(14,5(14,5-7)(14,5-10)(14,5-12)) | = | 27,3 cm² |
| h_b/a | = | 3/4 | ||||
| h_b | = | a * h_b/a | = | 7 * 3/4 | = | 5,25 cm |
Übung 2:
Gegeben ist ein Dreieck ABC mit der Seitenlänge a=6cm, b=8cm und c=10cm. Eine Höhe h_c teilt die Seite b im Verhältnis 5:3. Bestimme die Länge der Höhe h_c.
Lösung:
- Wir berechnen den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit der Heron-Formel:
- Wir setzen die gegebenen Größen in den Strahlensatz ein:
| s | = | (a+b+c)/2 | = | (6+8+10)/2 | = | 12 |
| A | = | sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)) | = | sqrt(12(12-6)(12-8)(12-10)) | = | 24 cm² |
| h_c/b | = | 5/3 | ||||
| h_c | = | b * h_c/b | = | 8 * 5/3 | = | 13,33 cm |
Übung 3:
Gegeben ist ein Dreieck ABC mit der Seitenlänge a=5cm, b=12cm und c=13cm. Eine Höhe h_b teilt die Seite c im Verhältnis 2:3. Bestimme die Länge der Höhe h_b.
Lösung:
- Wir berechnen den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit der Heron-Formel:
- Wir setzen die gegebenen Größen in den Strahlensatz ein:
| s | = | (a+b+c)/2 | = | (5+12+13)/2 | = | 15 |
| A | = | sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)) | = | sqrt(15(15-5)(15-12)(15-13)) | = | 30 cm² |
| h_b/c | = | 2/3 | ||||
| h_b | = | c * h_b/c | = | 13 * 2/3 | = | 8,67 cm |
Der Strahlensatz ist ein wichtiger Bestandteil der Geometrie und wird in der 10. Klasse behandelt. In diesem Beitrag werden wir uns mit einigen Strahlensatz Aufgaben mit Lösungen für die Klasse 10 beschäftigen.
Was ist der Strahlensatz?
Der Strahlensatz ist ein geometrisches Verfahren, mit dem man Verhältnisse von Strecken berechnen kann. Es gibt zwei Arten des Strahlensatzes: den äußeren und den inneren Strahlensatz.
Äußerer Strahlensatz
Der äußere Strahlensatz besagt, dass sich die Verhältnisse von Strecken auf zwei parallelen Geraden durch einen Schnittpunkt gleich verhalten. Das bedeutet, dass wenn man eine Gerade durch einen Schnittpunkt zieht und dann zwei parallele Geraden schneidet, das Verhältnis der Schnittpunkte auf beiden Geraden gleich ist.
Beispiel: Wenn man eine Gerade durch den Schnittpunkt von zwei parallelen Geraden zieht und dann eine dritte Gerade schneidet, dann verhalten sich die Schnittpunkte auf der dritten Geraden zueinander wie die Strecken auf den parallelen Geraden.
Innerer Strahlensatz
Der innere Strahlensatz besagt, dass sich die Verhältnisse von Strecken innerhalb eines Dreiecks gleich verhalten. Das bedeutet, dass wenn man eine Gerade durch einen Punkt innerhalb eines Dreiecks zieht und dann die drei Seiten des Dreiecks schneidet, das Verhältnis der Schnittpunkte auf den Seiten gleich ist.
Beispiel: Wenn man eine Gerade durch einen Punkt innerhalb eines Dreiecks zieht und dann die drei Seiten des Dreiecks schneidet, dann verhalten sich die Strecken auf den Seiten zueinander wie die Verhältnisse der Schnittpunkte.
Strahlensatz Aufgaben mit Lösungen Klasse 10
Im Folgenden finden Sie einige Strahlensatz Aufgaben mit Lösungen für die 10. Klasse.
- Gegeben ist ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen a = 8 cm, b = 12 cm und c = 16 cm. Zeichnen Sie eine Gerade durch den Scheitelpunkt A und den Schwerpunkt S des Dreiecks. Berechnen Sie das Verhältnis SA : AB. Lösung:
- Gegeben ist ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen a = 5 cm, b = 7 cm und c = 9 cm. Zeichnen Sie eine Gerade durch den Scheitelpunkt A und den Mittelpunkt M der Seite BC. Berechnen Sie das Verhältnis AM : BC. Lösung:
Wir wissen, dass der Schwerpunkt S eines Dreiecks auf der Verbindungslinie zwischen dem Scheitelpunkt A und dem Mittelpunkt M der gegenüberliegenden Seite liegt. Der Mittelpunkt M der Seite BC ist der Punkt, der genau in der Mitte der Seite liegt.
Wir berechnen zunächst den Mittelpunkt M:
M = (1/2 * (b + c), 1/2 * (a + c))
M = (1/2 * (12 + 16), 1/2 * (8 + 16))
M = (14, 12)
Jetzt können wir den Schwerpunkt S berechnen:
S = (1/3 * (A + B + C))
S = (1/3 * (0,0) + (12,0) + (0,8))
S = (4, 2.67)
Das Verhältnis SA : AB ist:
SA : AB = SM : MB
SM = sqrt((14-4)^2 + (12-2.67)^2) = 12.8
MB = 1/2 * c = 8
SA : AB = SM : MB = 12.8 : 8 = 1.6 : 1
Wir wissen, dass der Mittelpunkt M der Seite BC der Punkt ist, der genau in der Mitte der Seite liegt. Wir berechnen zunächst den Mittelpunkt M:
M = (1/2 * (b + c), 1/2 * (a + c))
M = (1/2 * (7 + 9), 1/2 * (5 + 9))
M = (8, 7)
Jetzt können wir den Schnittpunkt S der Geraden durch A und M mit der Seite BC berechnen:
(x-8)/(7-0) = (y-0)/(0-8)
8x + 7y = 56
y = -8/7 * x + 8
(y-7)/(5-0) = (x-8)/(0-7)
7x – 5y = 56
y = 7/5 * x – 10.08
Durch Einsetzen erhalten wir den Schnittpunkt S:
8x + 7y = 56
7x – 5y = 56
x = 4, y = -3.2
Das Verhältnis AM : BC ist:
AM : BC = AS : SC = (yA – yS)/(yS – yC) = (5 – (-3.2))/(0 – (-7)) = 8.2/7
Ich hoffe, dass diese Strahlensatz Aufgaben mit Lösungen für die Klasse 10 hilfreich waren. Wenn Sie weitere Fragen haben, hinterlassen Sie gerne einen Kommentar.