Öffnen Lösungen PDF – Trigonometrie Realschule
Beispiel 1: Berechnung von Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c = 10 cm und dem Winkel alpha = 30°.
Gesucht sind die Längen der Katheten a und b.
Zunächst berechnen wir den Winkel beta, da wir dann die Seitenlängen mit den trigonometrischen Funktionen sin, cos und tan berechnen können:
beta = 90° – alpha = 90° – 30° = 60°
Jetzt können wir die Länge der Kathete a mit der Sinus-Funktion berechnen:
sin(alpha) = a / c
a = sin(alpha) * c = sin(30°) * 10 cm = 5 cm
Die Länge der Kathete b berechnen wir mit der Kosinus-Funktion:
cos(alpha) = b / c
b = cos(alpha) * c = cos(30°) * 10 cm = 8,66 cm
Also ist a = 5 cm und b = 8,66 cm.
Beispiel 2: Berechnung von Winkeln im rechtwinkligen Dreieck
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c = 15 cm und der Kathete a = 6 cm.
Gesucht ist der Winkel alpha.
Zunächst berechnen wir die Länge der Kathete b mit dem Satz des Pythagoras:
b² = c² – a² = 15² – 6² = 201
b = sqrt(201) ≈ 14,18 cm
Jetzt können wir den Winkel alpha mit der Tangens-Funktion berechnen:
tan(alpha) = a / b
alpha = arctan(a / b) = arctan(6 cm / 14,18 cm) ≈ 23,1°
Also ist alpha ≈ 23,1°.
Übung 1: Berechnung von Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c = 7 cm und dem Winkel alpha = 45°.
Gesucht sind die Längen der Katheten a und b.
Lösung:
Zunächst berechnen wir den Winkel beta:
beta = 90° – alpha = 90° – 45° = 45°
Jetzt können wir die Länge der Kathete a mit der Sinus-Funktion berechnen:
sin(alpha) = a / c
a = sin(alpha) * c = sin(45°) * 7 cm ≈ 4,95 cm
Die Länge der Kathete b berechnen wir mit der Kosinus-Funktion:
cos(alpha) = b / c
b = cos(alpha) * c = cos(45°) * 7 cm ≈ 4,95 cm
Also ist a ≈ 4,95 cm und b ≈ 4,95 cm.
Übung 2: Berechnung von Winkeln im rechtwinkligen Dreieck
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c = 20 cm und der Kathete b = 12 cm.
Gesucht ist der Winkel alpha.
Lösung:
Zunächst berechnen wir die Länge der Kathete a mit dem Satz des Pythagoras:
a² = c² – b² = 20² – 12² = 256
a = sqrt(256) = 16 cm
Jetzt können wir den Winkel alpha mit der Tangens-Funktion berechnen:
tan(alpha) = b / a
alpha = arctan(b / a) = arctan(12 cm / 16 cm) ≈ 36,9°
Also ist alpha ≈ 36,9°.
Beispiel 3: Berechnung von Seitenlängen im allgemeinen Dreieck
Gegeben ist ein Dreieck mit den Seitenlängen a = 5 cm, b = 7 cm und dem Winkel gamma = 60°.
Gesucht ist die Seitenlänge c.
Zunächst berechnen wir den Winkel alpha mit dem Kosinussatz:
a² = b² + c² – 2bc * cos(alpha)
cos(alpha) = (b² + c² – a²) / 2bc
cos(alpha) = (7² + c² – 5²) / (2 * 7 cm * c)
cos(alpha) = (49 + c² – 25) / (14 cm * c)
cos(alpha) = (c² + 24) / (14 cm * c)
Jetzt berechnen wir den Winkel beta mit dem Sinussatz:
sin(beta) / b = sin(gamma) / c
sin(beta) = (sin(gamma) / c) * b
sin(beta) = (sin(60°) / c) * 7 cm
sin(beta) = (sqrt(3) / 2) * (7 cm / c)
sin(beta) = (7 sqrt(3) / 2c) cm
Jetzt berechnen wir den Winkel alpha mit dem Sinussatz:
sin(alpha) / a = sin(gamma) / c
sin(alpha) = (sin(gamma) / c) * a
sin(alpha) = (sin(60°) / c) * 5 cm
sin(alpha) = (sqrt(3) / 2) * (5 cm / c)
sin(alpha) = (5 sqrt(3) / 2c) cm
Jetzt setzen wir die beiden Sinus-Gleichungen gleich:
(7 sqrt(3) / 2c) cm = (5 sqrt(3) / 2c) cm * sin(alpha) / sin(beta)
sin(alpha) / sin(beta) = 7 / 5
Jetzt können wir den Winkel alpha mit der Sinus-Funktion berechnen:
sin(alpha) = 7 / 5 * sin(beta) = 7 / 5 * 7 sqrt(3) / 2c
sin(alpha) = 49 sqrt(3) / 10c
alpha = arcsin(49 sqrt(3) / 10c)
Jetzt setzen wir den Kosinus von alpha ein:
cos(arcsin(49 sqrt(3) / 10c)) = (c² + 24) / (14 cm * c)
sqrt(1 – (49 sqrt(3) / 10c)²) = (c² + 24) / (14 cm * c)
1 – (49 sqrt(3) / 10c)² = (c² + 24)² / (14² cm² * c²)
1 – 2401 / (10² c²) = (c² + 24)² / (14² c²)
100 – 2401 / c² = (c² + 24)² / 196
19600 – 2401 = c^4 + 48c² + 576
c^4 + 48c² – 17023 = 0
Jetzt können wir die Gleichung mit der p-q-Formel lösen:
c² = (-48 ± sqrt(48² + 4 * 17023)) / 2
c² ≈ 64,8 cm² oder c² ≈ 305,2 cm²
Da c eine Länge ist, muss c positiv sein, also ist c ≈ 17,5 cm.
Also ist c ≈ 17,5 cm.
Übung 3: Berechnung von Seitenlängen im allgemeinen Dreieck
Gegeben ist ein Dreieck mit den Seitenlängen a = 6 cm, b = 8 cm und dem Winkel gamma = 45°.
Gesucht ist die Seitenlänge c.
Lösung:
Zunächst berechnen wir den Winkel alpha mit dem Kosinussatz:
a² = b² + c² – 2bc * cos(alpha)
cos(alpha) = (b² + c² – a²) / 2bc
cos(alpha) = (8² + c² – 6²) / (2 * 8 cm * c)
cos(alpha) = (64 + c² – 36) / (16 cm * c)
cos(alpha) = (c² + 28) / (16 cm * c)
Jetzt berechnen wir den Winkel beta mit dem Sinussatz:
sin(beta) / b = sin(gamma) / c
sin(beta) = (sin(gamma) / c) * b
sin(beta) = (sin(45°) / c) * 8 cm
sin(beta) = (sqrt(2) / 2) * (8 cm / c)
sin(beta) = (4 sqrt(2) / c) cm
Jetzt berechnen wir den Winkel alpha mit dem Sinussatz:
sin(alpha) / a = sin(gamma) / c
sin(alpha) = (sin(gamma) / c) * a
sin(alpha) = (sin(45°) / c) * 6 cm
sin(alpha) = (sqrt(2) / 2) * (6 cm / c)
sin(alpha) = (3 sqrt(2) / c) cm
Jetzt setzen wir die beiden Sinus-Gleichungen gleich:
(4 sqrt(2) / c) cm = (3 sqrt(2) / c) cm * sin(alpha) / sin(beta)
sin(alpha) / sin(beta) = 4 / 3
Jetzt können wir den Winkel alpha mit der Sinus-Funktion berechnen:
sin(alpha) = 4 / 3 * sin(beta) = 4 / 3 * 4 sqrt(2) / c
sin(alpha) = 16 sqrt(2) / 3c
alpha = arcsin(16 sqrt(2) / 3c)
Jetzt setzen wir den Kosinus von alpha ein:
cos(arcsin(16 sqrt(2) / 3c)) = (c² + 28) / (16 cm * c)
sqrt(1 – (16 sqrt(2) / 3c)²) = (c² + 28) / (16 cm * c)
1 – (256 / (3² c²)) = (c² + 28)² / (16² cm² * c²)
1 – 256 / (9c²) = (c² + 28)² / (256 c²)
256 – 256 / 9 = c^4 + 56c² + 784
c^4 + 56c² – 2304 = 0
Jetzt können wir die Gleichung mit der p-q-Formel lösen:
c² = (-56 ± sqrt(56² + 4 * 2304)) / 2
c² ≈ 30,6 cm² oder c² ≈ -2,36 cm²
Da c eine Länge ist, muss c positiv sein, also ist c ≈ 5,53 cm.
Also ist c ≈ 5,53 cm.
Was ist Trigonometrie?
Trigonometrie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit den Verhältnissen zwischen den Seiten und Winkeln von Dreiecken beschäftigt. Es ist ein wichtiger Bestandteil der Geometrie und wird in vielen Bereichen wie der Physik, Astronomie und Navigation verwendet.
Trigonometrie in der Klasse 10 der Realschule
Trigonometrie ist ein Thema, das in der 10. Klasse der Realschule behandelt wird. In diesem Jahr lernen Schülerinnen und Schüler die Grundlagen der Trigonometrie, einschließlich der Berechnung von Winkeln und Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken. Sie lernen auch, wie sie Trigonometrie verwenden können, um Probleme in der Geometrie und anderen Bereichen der Mathematik zu lösen.
Trigonometrie Aufgaben Klasse 10 Realschule mit Lösungen
Hier sind einige Beispiele für Trigonometrieaufgaben, die in der 10. Klasse der Realschule mit Lösungen behandelt werden:
- Berechnen Sie die Länge der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Kathetenlängen 3 und 4.
- Berechnen Sie den Wert von sin(30°).
- Berechnen Sie den Wert von cos(45°).
Lösung: Die Länge der Hypotenuse ist √(3² + 4²) = √25 = 5.
Lösung: sin(30°) = 0,5.
Lösung: cos(45°) = √2/2.
Fazit
Trigonometrie ist ein wichtiger Teil der Mathematik, der in der 10. Klasse der Realschule behandelt wird. Schülerinnen und Schüler lernen, wie sie Winkel und Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken berechnen und wie sie Trigonometrie verwenden können, um Probleme in der Geometrie und anderen Bereichen der Mathematik zu lösen. Durch das Üben von Trigonometrie-Aufgaben können Schülerinnen und Schüler ihr Verständnis vertiefen und ihre Fähigkeiten verbessern.