Aufgaben Wahrscheinlichkeitsrechnung Klasse 10 Mit Lösungen

Öffnen Lösungen PDF – Wahrscheinlichkeitsrechnung 



Aufgabe 1:

Ein Würfel wird zweimal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass:

  1. beide Male eine gerade Zahl geworfen wird
  2. das erste Mal eine ungerade Zahl und das zweite Mal eine gerade Zahl geworfen wird
  3. mindestens einmal eine 6 geworfen wird

Lösung:

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass beim ersten Wurf eine gerade Zahl geworfen wird, beträgt 3/6 (da es 3 gerade und 3 ungerade Zahlen auf einem Würfel gibt). Die Wahrscheinlichkeit, dass auch beim zweiten Wurf eine gerade Zahl geworfen wird, beträgt ebenfalls 3/6. Da es sich um unabhängige Ereignisse handelt, müssen die Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden: 3/6 * 3/6 = 9/36.

2. Die Wahrscheinlichkeit, dass beim ersten Wurf eine ungerade Zahl geworfen wird, beträgt ebenfalls 3/6. Die Wahrscheinlichkeit, dass beim zweiten Wurf eine gerade Zahl geworfen wird, beträgt 3/6. Da es sich um unabhängige Ereignisse handelt, müssen die Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden: 3/6 * 3/6 = 9/36.

3. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal eine 6 geworfen wird, beträgt 1 – die Wahrscheinlichkeit, dass bei beiden Würfen keine 6 geworfen wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf keine 6 geworfen wird, beträgt 5/6. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei beiden Würfen keine 6 geworfen wird, beträgt (5/6) * (5/6) = 25/36. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal eine 6 geworfen wird, 1 – 25/36 = 11/36.


Aufgabe 2:

Eine Urne enthält 4 rote und 6 blaue Kugeln. Es werden zwei Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass:

  1. beide Kugeln blau sind
  2. die erste Kugel blau und die zweite Kugel rot ist
  3. mindestens eine Kugel blau ist

Lösung:

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass beim ersten Zug eine blaue Kugel gezogen wird, beträgt 6/10. Da die Kugel nicht zurückgelegt wird, enthält die Urne jetzt nur noch 9 Kugeln, von denen 5 blau sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass beim zweiten Zug eine blaue Kugel gezogen wird, beträgt 5/9. Da es sich um unabhängige Ereignisse handelt, müssen die Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden: 6/10 * 5/9 = 30/90 = 1/3.

2. Die Wahrscheinlichkeit, dass beim ersten Zug eine blaue Kugel gezogen wird, beträgt 6/10. Die Wahrscheinlichkeit, dass beim zweiten Zug eine rote Kugel gezogen wird, beträgt 4/9 (da die Urne nach dem ersten Zug nur noch 9 Kugeln enthält, von denen 4 rot sind). Da es sich um unabhängige Ereignisse handelt, müssen die Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden: 6/10 * 4/9 = 24/90 = 4/15.

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3. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Kugel blau ist, beträgt 1 – die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass beim ersten Zug eine rote Kugel gezogen wird, beträgt 4/10. Da die Kugel nicht zurückgelegt wird, enthält die Urne jetzt nur noch 9 Kugeln, von denen 4 rot sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass beim zweiten Zug eine rote Kugel gezogen wird, beträgt 3/9. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind, beträgt daher 4/10 * 3/9 = 12/90 = 2/15. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Kugel blau ist, 1 – 2/15 = 13/15.


Aufgabe 3:

Ein Schüler hat eine 50%ige Chance, eine Mathematikprüfung zu bestehen. Wenn er die Prüfung besteht, hat er eine 80%ige Chance, auch die Physikprüfung zu bestehen. Wenn er die Mathematikprüfung nicht besteht, hat er nur eine 30%ige Chance, die Physikprüfung zu bestehen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler:

  1. beide Prüfungen besteht
  2. nur die Mathematikprüfung besteht
  3. die Physikprüfung besteht, aber nicht die Mathematikprüfung

Lösung:

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler beide Prüfungen besteht, beträgt 0,5 * 0,8 = 0,4.

2. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler nur die Mathematikprüfung besteht, beträgt 0,5 * 0,2 = 0,1.

3. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler die Physikprüfung besteht, aber nicht die Mathematikprüfung, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass er die Mathematikprüfung nicht besteht (0,5) mal die Wahrscheinlichkeit, dass er die Physikprüfung besteht, wenn er die Mathematikprüfung nicht besteht (0,3). Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit 0,5 * 0,3 = 0,15.


Aufgabe 4:

Eine Glühbirne hat eine Lebensdauer von durchschnittlich 500 Stunden. Die Standardabweichung beträgt 50 Stunden. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass:

  1. eine Glühbirne zwischen 400 und 600 Stunden leuchtet
  2. eine Glühbirne weniger als 400 Stunden leuchtet
  3. eine Glühbirne mehr als 600 Stunden leuchtet

Lösung:

1. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass eine Glühbirne zwischen 400 und 600 Stunden leuchtet, müssen wir die z-Standardisierung verwenden. Zuerst müssen wir den z-Wert für 400 Stunden berechnen: z = (400 – 500) / 50 = -2. Dann berechnen wir den z-Wert für 600 Stunden: z = (600 – 500) / 50 = 2. Mit einer Tabelle der Standardnormalverteilung finden wir, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Glühbirne zwischen 400 und 600 Stunden leuchtet, etwa 0,954 beträgt.

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2. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass eine Glühbirne weniger als 400 Stunden leuchtet, müssen wir den z-Wert für 400 Stunden berechnen: z = (400 – 500) / 50 = -2. Mit einer Tabelle der Standardnormalverteilung finden wir, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Glühbirne weniger als 400 Stunden leuchtet, etwa 0,0228 beträgt.

3. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass eine Glühbirne mehr als 600 Stunden leuchtet, müssen wir den z-Wert für 600 Stunden berechnen: z = (600 – 500) / 50 = 2. Mit einer Tabelle der Standardnormalverteilung finden wir, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Glühbirne mehr als 600 Stunden leuchtet, etwa 0,0228 beträgt.


Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein wichtiger Bestandteil der Mathematik und wird auch in der 10. Klasse behandelt. In diesem Beitrag werden wir uns einige Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung anschauen, die in Klasse 10 behandelt werden. Außerdem werden wir Lösungen zu den Aufgaben präsentieren.

Aufgabe 1

Ein Würfel wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal die gleiche Augenzahl erscheint?

Lösung: Es gibt insgesamt 36 Möglichkeiten, wie die beiden Würfel fallen können (6 Möglichkeiten für den ersten Würfel und 6 Möglichkeiten für den zweiten Würfel). Davon sind 6 Möglichkeiten, bei denen zweimal die gleiche Augenzahl erscheint (1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6). Die Wahrscheinlichkeit beträgt also 6/36 oder 1/6.

Aufgabe 2

Ein Kartenspiel besteht aus 32 Karten. Es werden zwei Karten gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Karten schwarze Asse sind?

Lösung: Es gibt insgesamt 32 Möglichkeiten, wie die erste Karte gezogen werden kann. Davon sind 8 Karten schwarze Asse. Nachdem die erste Karte gezogen wurde, gibt es nur noch 31 Karten im Spiel, von denen nur noch 7 schwarze Asse sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Karte ein schwarzes Ass ist, beträgt also 7/31. Die Gesamtwahrscheinlichkeit beträgt 8/32 * 7/31 = 0,054 oder etwa 5,4%.

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Aufgabe 3

Ein Glücksrad hat sechs gleich große Sektoren, von denen einer rot und die anderen blau sind. Es wird zweimal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Male ein blauer Sektor getroffen wird?

Lösung: Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Drehen einen blauen Sektor zu treffen, beträgt 5/6. Nachdem ein blauer Sektor getroffen wurde, gibt es nur noch fünf Sektoren, von denen vier blau sind. Die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Drehen erneut einen blauen Sektor zu treffen, beträgt also 4/5. Die Gesamtwahrscheinlichkeit beträgt 5/6 * 4/5 = 0,67 oder etwa 67%.

Aufgabe 4

Ein Spielzeughersteller produziert Autos und Flugzeuge. 60% der produzierten Spielzeuge sind Autos und 40% sind Flugzeuge. Von den produzierten Autos sind 80% einwandfrei, von den produzierten Flugzeugen sind 70% einwandfrei. Ein Kunde kauft ein Spielzeug und stellt fest, dass es einwandfrei ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es ein Auto ist?

Lösung: Die Wahrscheinlichkeit, dass das gekaufte Spielzeug ein Auto ist, beträgt 60%. Von den produzierten Autos sind 80% einwandfrei, also beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein gekauftes Auto einwandfrei ist, 0,6 * 0,8 = 0,48 oder 48%. Von den produzierten Flugzeugen sind 70% einwandfrei, also beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein gekauftes Flugzeug einwandfrei ist, 0,4 * 0,7 = 0,28 oder 28%. Die Wahrscheinlichkeit, dass das gekaufte Spielzeug ein Auto ist und einwandfrei ist, beträgt daher 0,48 / (0,48 + 0,28) = 0,63 oder etwa 63%.

Fazit

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung kann manchmal knifflig sein, aber mit etwas Übung lässt sie sich leicht meistern. Wir hoffen, dass Ihnen diese Aufgaben und Lösungen dabei geholfen haben, die Wahrscheinlichkeitsrechnung besser zu verstehen und zu meistern. Wenn Sie weitere Fragen haben, zögern Sie nicht, sich an Ihren Lehrer oder Ihre Lehrerin zu wenden.