Öffnen Lösungen PDF – Exponentielles Wachstum
Übung 1: Berechnung des exponentiellen Wachstums
Gegeben ist eine Bakterienkultur mit 500 Bakterien. Jede Stunde verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien. Wie viele Bakterien sind nach 6 Stunden vorhanden?
Lösung:Wir können die Formel für exponentielles Wachstum verwenden:
N(t) = N0 * e^(rt)
Dabei ist N(t) die Anzahl der Bakterien nach einer bestimmten Zeit t, N0 die Anfangszahl der Bakterien und r der Wachstumsfaktor. Da sich die Anzahl der Bakterien jede Stunde verdoppelt, ist r = ln(2) (natürlicher Logarithmus von 2).
Für unsere Aufgabe haben wir N0 = 500 und t = 6 Stunden.
N(6) = 500 * e^(ln(2)*6) ≈ 8000
Nach 6 Stunden sind also etwa 8000 Bakterien vorhanden.
Übung 2: Halbwertszeit berechnen
Gegeben ist eine Substanz, deren Halbwertszeit 24 Stunden beträgt. Zu Beginn sind 1000 Gramm der Substanz vorhanden. Wie viel Gramm sind nach 3 Tagen noch übrig?
Lösung:Die Formel für die Halbwertszeit lautet:
N(t) = N0 * 0.5^(t/T)
Dabei ist N(t) die Menge der Substanz nach einer bestimmten Zeit t, N0 die Anfangsmenge und T die Halbwertszeit.
Für unsere Aufgabe haben wir N0 = 1000 Gramm, T = 24 Stunden und t = 3 * 24 = 72 Stunden.
N(72) = 1000 * 0.5^(72/24) ≈ 125 Gramm
Nach 3 Tagen sind also etwa 125 Gramm der Substanz übrig.
Übung 3: Verdopplungszeit berechnen
Gegeben ist eine Population von 1000 Tieren. Die Anzahl der Tiere verdoppelt sich alle 3 Jahre. Wie lange dauert es, bis die Population auf 8000 Tiere angewachsen ist?
Lösung:Die Formel für die Verdopplungszeit lautet:
Td = ln(2) / r
Dabei ist Td die Verdopplungszeit, r der Wachstumsfaktor (hier: r = ln(2)/3)
Für unsere Aufgabe wollen wir wissen, wie lange es dauert, bis die Population auf 8000 Tiere angewachsen ist.
N(t) = N0 * e^(rt)
Wir setzen N(t) = 8000, N0 = 1000 und r = ln(2)/3 und lösen nach t auf:
t = ln(8) / r ≈ 6.6 Jahre
Es dauert also etwa 6.6 Jahre, bis die Population auf 8000 Tiere angewachsen ist.
Übung 4: Vergleich von Wachstumsfaktoren
Gegeben sind zwei Populationen von Bakterien. Population A hat einen Wachstumsfaktor von r = 0.05 pro Minute, Population B hat einen Wachstumsfaktor von r = 0.1 pro Minute.
- Wie lange dauert es, bis sich die Anzahl der Bakterien in Population A verdoppelt hat?
- Wie lange dauert es, bis sich die Anzahl der Bakterien in Population B verdoppelt hat?
- Welche Population wächst schneller?
Die Formel für die Verdopplungszeit lautet:
Td = ln(2) / r
Für Population A haben wir r = 0.05 pro Minute, also
Td(A) = ln(2) / 0.05 ≈ 13.86 Minuten
Für Population B haben wir r = 0.1 pro Minute, also
Td(B) = ln(2) / 0.1 ≈ 6.93 Minuten
Population B wächst also schneller, da sich die Anzahl der Bakterien in kürzerer Zeit verdoppelt.
Exponentielles Wachstum ist ein wichtiger Bestandteil des Mathematikunterrichts in der 11. Klasse. Es bezieht sich auf die Art und Weise, wie sich eine Variable im Laufe der Zeit entwickelt, wenn sie sich proportional zu ihrem aktuellen Wert verändert. In diesem Blogbeitrag werden wir uns mit einigen Aufgaben zum exponentiellen Wachstum befassen und Lösungen präsentieren, die Schüler in der 11. Klasse dabei helfen sollen, dieses Thema besser zu verstehen.
Was ist exponentielles Wachstum?
Exponentielles Wachstum tritt auf, wenn eine Variable sich proportional zum aktuellen Wert verändert. Das bedeutet, dass sie mit jedem Schritt um einen bestimmten Prozentsatz zunimmt. Dies führt dazu, dass die Zunahme der Variablen im Laufe der Zeit exponentiell ansteigt.
Beispiel für exponentielles Wachstum
Ein gutes Beispiel für exponentielles Wachstum ist die Bevölkerungsentwicklung. Wenn eine Bevölkerung jedes Jahr um 5 % wächst, dann bedeutet das, dass sie sich jedes Jahr um 5 % des aktuellen Bevölkerungswerts erhöht. Das führt dazu, dass die Bevölkerung im Laufe der Zeit exponentiell ansteigt.
Aufgaben zum exponentiellen Wachstum
1. Eine Bakterienkultur hat zu Beginn 100 Bakterien. Jede Stunde verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien. Wie viele Bakterien sind nach 5 Stunden in der Kultur?
- Zu Beginn: 100 Bakterien
- Nach der 1. Stunde: 200 Bakterien
- Nach der 2. Stunde: 400 Bakterien
- Nach der 3. Stunde: 800 Bakterien
- Nach der 4. Stunde: 1600 Bakterien
- Nach der 5. Stunde: 3200 Bakterien
Die Bakterienkultur hat nach 5 Stunden 3200 Bakterien.
2. Ein Auto verliert jedes Jahr 10 % seines Wertes. Wenn der Wert des Autos zu Beginn 20.000 € beträgt, wie viel ist es nach 5 Jahren noch wert?
Zu Beginn: 20.000 €
Nach 1 Jahr: 18.000 €
Nach 2 Jahren: 16.200 €
Nach 3 Jahren: 14.580 €
Nach 4 Jahren: 13.122 €
Nach 5 Jahren: 11.810 €
Das Auto ist nach 5 Jahren noch 11.810 € wert.
Lösungen zu den Aufgaben
1. Die Bakterienkultur hat nach 5 Stunden 3200 Bakterien.
2. Das Auto ist nach 5 Jahren noch 11.810 € wert.
Fazit
Exponentielles Wachstum ist ein wichtiger Bestandteil des Mathematikunterrichts in der 11. Klasse. Durch das Lösen von Aufgaben zum exponentiellen Wachstum können Schüler dieses Thema besser verstehen. Die vorgestellten Aufgaben und Lösungen sollen Schüler dabei unterstützen, ihre Fähigkeiten im Umgang mit exponentiellem Wachstum zu verbessern.
| Stichwörter | Definition |
|---|---|
| Exponentielles Wachstum | Art und Weise, wie sich eine Variable im Laufe der Zeit entwickelt, wenn sie sich proportional zu ihrem aktuellen Wert verändert |
| Bakterienkultur | Eine Gruppe von Bakterien, die sich unter bestimmten Bedingungen vermehren |
| Auto | Ein motorisiertes Fahrzeug, das zum Transport von Personen oder Gütern verwendet wird |