Cornelsen Mathematik Klasse 12 Lösungen

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Übung 1: Lineare Gleichungssysteme lösen

Gegeben ist das Gleichungssystem:

x + y = 5

2x – y = 1

Löse das Gleichungssystem durch Einsetzungsverfahren.

  1. Wähle eine Gleichung aus und löse sie nach einer Variablen auf.
  2. Setze den Ausdruck für die Variable in die andere Gleichung ein und löse sie nach der anderen Variablen auf.
  3. Setze den gefundenen Wert für eine Variable in eine der Gleichungen ein und berechne den Wert der anderen Variable.

Lösung 1:

Schritt 1:

x + y = 5 | -x

y = 5 – x

Schritt 2:

2x – y = 1

2x – (5 – x) = 1 | +x

3x – 5 = 1 | +5

3x = 6 | :3

x = 2

Schritt 3:

y = 5 – x

y = 5 – 2

y = 3

Die Lösung des Gleichungssystems ist x = 2 und y = 3.


Übung 2: Ableitungen berechnen

Gegeben ist die Funktion:

f(x) = 2x³ – 5x² + 3x + 2

Berechne die Ableitung der Funktion.

  1. Bilde die Ableitungsfunktion durch Anwenden der Ableitungsregeln.

Lösung 2:

Die Ableitung der Funktion lautet:

f'(x) = 6x² – 10x + 3

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Zur Berechnung der Ableitung wurden die folgenden Ableitungsregeln angewendet:

  • Die Ableitung einer Konstanten ist 0.
  • Die Ableitung einer Potenzfunktion lautet: f'(x) = n * x^(n-1)
  • Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.

Übung 3: Integral berechnen

Berechne das Integral:

∫(3x² + 4x – 2)dx

  1. Wende die Integrationsregeln an.

Lösung 3:

Das Integral lautet:

∫(3x² + 4x – 2)dx = x³ + 2x² – 2x + C

Zur Berechnung des Integrals wurden die folgenden Integrationsregeln angewendet:

  • Die Integrationsregel für die Potenzfunktion lautet: ∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C
  • Die Integrationsregel für die Summe lautet: ∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx

Die Integrationskonstante C kann beliebig gewählt werden.


Übung 4: Vektoren berechnen

Gegeben sind die Vektoren:

a = (3, 1, -2)

b = (-2, 4, 1)

Berechne das Skalarprodukt und das Vektorprodukt der beiden Vektoren.

  1. Berechne das Skalarprodukt durch Anwenden der Formel.
  2. Berechne das Vektorprodukt durch Anwenden der Formel.

Lösung 4:

Das Skalarprodukt der beiden Vektoren lautet:

a · b = (3 * -2) + (1 * 4) + (-2 * 1) = -6 + 4 – 2 = -4

Das Vektorprodukt der beiden Vektoren lautet:

a x b = (-2 * -2 – 1 * 1), (-2 * 3 – 1 * -2), (3 * 4 – 1 * -2) = (3, -8, 14)

Zur Berechnung des Skalarprodukts und des Vektorprodukts wurden die folgenden Formeln angewendet:

  • Das Skalarprodukt von zwei Vektoren a und b lautet: a · b = |a| * |b| * cos(α)
  • Das Vektorprodukt von zwei Vektoren a und b lautet: a x b = (a2b3 – a3b2, a3b1 – a1b3, a1b2 – a2b1)
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