Stochastik Aufgaben Lösungen Klasse 12

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Aufgabe 1: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf mit einem fairen Würfel eine 4 oder eine 6 gewürfelt wird.

Lösung:

  1. Die Wahrscheinlichkeit, eine 4 zu würfeln, beträgt 1/6.
  2. Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln, beträgt ebenfalls 1/6.
  3. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass entweder eine 4 oder eine 6 gewürfelt wird, addieren wir die beiden Wahrscheinlichkeiten: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf mit einem fairen Würfel eine 4 oder eine 6 zu würfeln, beträgt also 1/3.


Aufgabe 2: Bedingte Wahrscheinlichkeit

Eine Urne enthält 5 rote und 3 blaue Kugeln. Zwei Kugeln werden ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel rot ist, wenn die zweite Kugel blau ist.

Lösung:

  1. Zunächst betrachten wir die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel rot ist. Dies ist gleich der Anzahl der roten Kugeln (5) geteilt durch die Gesamtzahl der Kugeln (8), also 5/8.
  2. Nun betrachten wir die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel rot und die zweite Kugel blau ist. Hierfür müssen wir die Wahrscheinlichkeit der ersten Kugel (5/8) mit der Wahrscheinlichkeit der zweiten Kugel (3/7) multiplizieren, da wir ohne Zurücklegen ziehen. Das ergibt (5/8) * (3/7) = 15/56.
  3. Um die bedingte Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass die erste Kugel rot ist, gegeben dass die zweite Kugel blau ist, müssen wir die Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse, dass die erste Kugel rot und die zweite Kugel blau ist (15/56), durch die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel blau ist (3/8) dividieren. Das ergibt (15/56) / (3/8) = 5/14.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel rot ist, wenn die zweite Kugel blau ist, beträgt also 5/14.


Aufgabe 3: Normalverteilung

Die IQ-Werte einer Population sind normalverteilt mit einem Mittelwert von 100 und einer Standardabweichung von 15. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Mensch einen IQ von mindestens 130 hat.

  Kurvendiskussion Aufgaben Mit Lösungen Klasse 12

Lösung:

  1. Zunächst müssen wir die z-Transformation durchführen, um den z-Wert zu berechnen, der zu einem IQ von 130 gehört. Dafür subtrahieren wir den Mittelwert (100) von 130 und dividieren das Ergebnis durch die Standardabweichung (15). Das ergibt einen z-Wert von 1,33.
  2. Wir schauen nun in der z-Tabelle nach, welche Fläche unter der Normalverteilungskurve rechts von diesem z-Wert liegt. Das entspricht einer Wahrscheinlichkeit von 0,0918.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Mensch einen IQ von mindestens 130 hat, beträgt also 0,0918 oder etwa 9,18%.


Aufgabe 4: Hypothesentest

Ein Hersteller von Glühbirnen behauptet, dass die durchschnittliche Lebensdauer seiner Glühbirnen bei 1500 Stunden liegt. Eine Stichprobe von 50 Glühbirnen ergab eine durchschnittliche Lebensdauer von 1480 Stunden bei einer Standardabweichung von 100 Stunden. Führe einen Hypothesentest auf dem 5%-Signifikanzniveau durch, um zu prüfen, ob die Behauptung des Herstellers zutrifft.

Lösung:

  1. Zunächst formulieren wir die Nullhypothese H0: µ = 1500 und die Alternativhypothese Ha: µ < 1500 (weil wir prüfen wollen, ob die Behauptung des Herstellers zutrifft).
  2. Wir wählen das Signifikanzniveau α = 0,05.
  3. Wir berechnen den Stichprobenmittelwert (1480) und den Standardfehler (SE = S / sqrt(n) = 100 / sqrt(50) = 14,14).
  4. Wir berechnen den t-Wert (t = (x̄ – µ) / SE = (1480 – 1500) / 14,14 = -1,41).
  5. Wir schauen in der t-Tabelle nach und finden für einseitige Tests mit 49 Freiheitsgraden und einem Signifikanzniveau von 0,05 einen kritischen t-Wert von -1,677.
  6. Da der berechnete t-Wert (-1,41) größer als der kritische t-Wert (-1,677) ist, können wir die Nullhypothese nicht ablehnen. Das bedeutet, dass wir keine ausreichenden Beweise dafür haben, dass die durchschnittliche Lebensdauer der Glühbirnen des Herstellers nicht bei 1500 Stunden liegt.

Auf dem 5%-Signifikanzniveau können wir also nicht sagen, dass die Behauptung des Herstellers nicht zutrifft.


Die Stochastik ist ein wichtiger Bereich der Mathematik, der sich mit Wahrscheinlichkeiten beschäftigt. In der Klasse 12 werden Schülerinnen und Schüler oft mit anspruchsvollen Aufgaben konfrontiert, die ein tiefes Verständnis von Wahrscheinlichkeiten erfordern. In diesem Blogbeitrag werden wir einige der häufigsten Stochastik-Aufgaben der Klasse 12 behandeln und Ihnen Lösungen präsentieren.

  Mathe 12 Klasse Aufgaben Lösungen

Grundlagen der Stochastik

Bevor wir mit den Aufgaben beginnen, ist es wichtig, die Grundlagen der Stochastik zu verstehen. In der Stochastik geht es darum, Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Eine Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl zwischen 0 und 1, die angibt, wie wahrscheinlich es ist, dass ein Ereignis eintritt.

Um eine Wahrscheinlichkeit zu berechnen, müssen wir die Anzahl der günstigen Fälle durch die Gesamtzahl der Möglichkeiten teilen. Zum Beispiel, wenn wir die Wahrscheinlichkeit berechnen wollen, dass eine Münze beim Werfen Kopf zeigt, müssen wir die Anzahl der günstigen Fälle (1) durch die Gesamtzahl der Möglichkeiten (2) teilen. Die Wahrscheinlichkeit ist also 1/2 oder 0,5.

Aufgaben

Aufgabe 1

Eine Urne enthält 5 rote und 3 schwarze Kugeln. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind?

Lösung:

Zuerst müssen wir die Gesamtzahl der Möglichkeiten berechnen, wie wir zwei Kugeln aus der Urne ziehen können. Das können wir mit der Formel n!/(n-r)!r! berechnen, wobei n die Gesamtzahl der Kugeln und r die Anzahl der gezogenen Kugeln ist. In diesem Fall ist n=8 und r=2.

n!/(n-r)!r! = 8!/(8-2)!2! = 8×7/2×1 = 28

Es gibt insgesamt 28 Möglichkeiten, zwei Kugeln aus der Urne zu ziehen.

Jetzt müssen wir die Anzahl der günstigen Fälle berechnen, also die Anzahl der Möglichkeiten, zwei rote Kugeln zu ziehen. Es gibt insgesamt 5 rote Kugeln in der Urne, also können wir die erste Kugel auf 5 verschiedene Arten ziehen. Wenn wir die erste Kugel gezogen haben, bleiben nur noch 4 rote Kugeln übrig, also können wir die zweite Kugel auf 4 verschiedene Arten ziehen. Die Anzahl der günstigen Fälle beträgt also 5×4=20.

Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind, beträgt also 20/28 oder etwa 0,71.

Aufgabe 2

Eine Firma produziert Glühbirnen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Glühbirne nicht defekt ist, beträgt 0,9. Die Glühbirnen werden in Packungen zu je 10 Stück verkauft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung höchstens eine defekte Glühbirne enthält?

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Lösung:

Wir können diese Aufgabe mit der Binomialverteilung lösen. Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass bei n unabhängigen Versuchen mit jeweils zwei möglichen Ergebnissen k-mal das eine und n-k-mal das andere Ergebnis eintritt.

In diesem Fall ist n=10 (da eine Packung 10 Glühbirnen enthält) und die Wahrscheinlichkeit p, dass eine Glühbirne nicht defekt ist, beträgt 0,9. Wir wollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass höchstens eine Glühbirne defekt ist, also k=0 oder k=1.

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau k Glühbirnen defekt sind, können wir mit der Formel (n über k) p^k (1-p)^(n-k) berechnen, wobei (n über k) die Anzahl der Kombinationen von n Elementen in k Gruppen ist. (n über k) kann mit der Formel n!/(k!(n-k)!) berechnet werden.

Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens eine Glühbirne defekt ist, können wir berechnen, indem wir die Wahrscheinlichkeiten für k=0 und k=1 addieren.

(n über k=0) p^0 (1-p)^(n-0) + (n über k=1) p^1 (1-p)^(n-1) = (10 über 0) 0,9^0 0,1^10 + (10 über 1) 0,9^1 0,1^9 = 0,3487

Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens eine Glühbirne defekt ist, beträgt also etwa 0,35.

Zusammenfassung

Die Stochastik ist ein wichtiger Bereich der Mathematik, der sich mit Wahrscheinlichkeiten beschäftigt. In der Klasse 12 werden Schülerinnen und Schüler oft mit anspruchsvollen Aufgaben konfrontiert, die ein tiefes Verständnis von Wahrscheinlichkeiten erfordern. Wir haben in diesem Blogbeitrag einige der häufigsten Stochastik-Aufgaben der Klasse 12 behandelt und Ihnen Lösungen präsentiert. Wir hoffen, dass Ihnen dieser Beitrag dabei hilft, Ihre Stochastik-Kenntnisse zu vertiefen und bei Ihren Aufgaben erfolgreich zu sein.


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