Öffnen Lösungen PDF – Schnittpunkt
Übung 1: Berechnen von Schnittpunkten
Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden:
Gerade 1: y = 2x + 4
Gerade 2: y = -3x + 6
Lösung:
- Setze die beiden Gleichungen gleich:
- Bringe alle x-Terme auf eine Seite und alle konstanten Terme auf die andere Seite:
- Teile beide Seiten durch 5:
- Setze x in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein, um y zu berechnen:
- Der Schnittpunkt lautet also (0,4 | 4,8).
2x + 4 = -3x + 6
5x = 2
x = 0,4
y = 2 * 0,4 + 4 = 4,8
Übung 2: Parallele und senkrechte Geraden
Gegeben ist die Gerade g mit der Gleichung y = -2x + 5.
- Bestimme die Gleichung der Geraden h, die parallel zu g durch den Punkt P(1 | 3) verläuft.
- Bestimme die Gleichung der Geraden k, die senkrecht zu g durch den Punkt Q(-1 | 1) verläuft.
Lösung:
- Parallele Geraden haben die gleiche Steigung. Daher muss die Gleichung der gesuchten Geraden h ebenfalls die Form y = -2x + c haben. Um c zu bestimmen, setzen wir die Koordinaten des Punktes P in die Gleichung ein:
- Senkrechte Geraden haben die negative Kehrwert-Steigung. Die Steigung der Geraden g ist -2, also hat die gesuchte Gerade k die Steigung 1/2. Wir setzen die Koordinaten des Punktes Q und die Steigung in die Punkt-Steigungs-Formel ein:
3 = -2 * 1 + c
c = 5
Die Gleichung der Geraden h lautet also y = -2x + 5.
y – 1 = 1/2 * (x – (-1))
y – 1 = 1/2 * (x + 1)
y – 1 = 1/2x + 1/2
y = 1/2x + 3/2
Die Gleichung der Geraden k lautet also y = 1/2x + 3/2.
Übung 3: Geraden in Parameterform
Gegeben sind die Geraden g und h:
Gerade g: x = 2 + t, y = 1 – 2t
Gerade h: x = -1 + s, y = -3 – s
- Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden.
- Bestimme einen Punkt, der auf beiden Geraden liegt.
Lösung:
- Um den Schnittpunkt zu bestimmen, setzen wir die Gleichungen gleich:
- Wir lösen beide Gleichungen nach t auf:
- Wir setzen eine der beiden Gleichungen in die andere ein:
- Um einen Punkt zu finden, der auf beiden Geraden liegt, setzen wir t = 0 in die Gleichung von g ein:
2 + t = -1 + s
1 – 2t = -3 – s
t = -3 – s
s = 3 + t
2 + (-3 – s) = -1 + s
-1 – s = -1
s = 0
Wir setzen s = 0 in die zweite Gleichung ein:
y = -3 – 0 = -3
Der Schnittpunkt lautet also (-1 | -3).
x = 2 + 0 = 2
y = 1 – 2 * 0 = 1
Der Punkt P(2 | 1) liegt auf der Geraden g.
Wir setzen s = 0 in die Gleichung von h ein:
x = -1 + 0 = -1
y = -3 – 0 = -3
Der Punkt Q(-1 | -3) liegt auf der Geraden h.
Beide Punkte haben die gleichen Koordinaten x = -1 und y = -3 und liegen somit auf beiden Geraden.
Der Schnittpunkt in der Mathematik ist ein wichtiger Begriff, der in der 7. Klasse eingeführt wird. Es geht dabei um den Punkt, an dem sich zwei Geraden schneiden.
Was ist ein Schnittpunkt?
Ein Schnittpunkt ist der Punkt, an dem sich zwei Geraden schneiden. Er kann durch verschiedene Methoden berechnet werden, wie zum Beispiel durch das Lösen von Gleichungssystemen.
Wie berechnet man den Schnittpunkt?
Um den Schnittpunkt zweier Geraden zu berechnen, können verschiedene Methoden angewendet werden. Eine Möglichkeit ist das Lösen von Gleichungssystemen. Dabei werden die Gleichungen der beiden Geraden gleichgesetzt und nach den Unbekannten aufgelöst.
Beispiel:
Gesucht ist der Schnittpunkt der Geraden y = 2x + 1 und y = -3x + 5
- Die Gleichungen gleichsetzen: 2x + 1 = -3x + 5
- Nach x auflösen: 5x = 4
- x = 4/5
- Diesen Wert in eine der beiden Gleichungen einsetzen, um y zu berechnen: y = 2 * (4/5) + 1 = 9/5
Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist also bei den Koordinaten (4/5|9/5).
| Vorteile des Schnittpunkts | Nachteile des Schnittpunkts |
|---|---|
| – Einfache Methode zur Bestimmung des Schnittpunkts – Kann bei verschiedenen Aufgabenstellungen angewendet werden | – Funktioniert nur bei Geraden – Kann bei komplexen Gleichungssystemen schwierig sein |
Der Schnittpunkt ist ein wichtiger Begriff in der Mathematik und wird in der 7. Klasse eingeführt. Durch das Lösen von Gleichungssystemen können die Schülerinnen und Schüler den Schnittpunkt von zwei Geraden berechnen. Es gibt Vor- und Nachteile dieser Methode, aber insgesamt ist sie eine einfache und effektive Methode zur Bestimmung des Schnittpunkts.