Öffnen Lösungen PDF – Übungs Proportionale Und Antiproportionale Zuordnungen
Proportionale Zuordnungen
Bei proportionale Zuordnungen gilt: Wenn eine Größe verdoppelt oder halbiert wird, dann verdoppelt oder halbiert sich auch die andere Größe.
Beispiel 1:
Ein Auto fährt mit konstanter Geschwindigkeit und legt dabei in 3 Stunden eine Strecke von 240 km zurück. Wie weit würde das Auto in 5 Stunden fahren?
Lösung:
Wir wissen, dass das Verhältnis von Zeit und Strecke konstant ist. Das heißt, dass die Strecke proportional zur Zeit ist.
Wir können also eine Proportionalitätsgleichung aufstellen:
Strecke / Zeit = konstant
Wir setzen die gegebenen Werte ein:
240 km / 3 h = k
k = 80 km/h
Jetzt können wir die Frage beantworten:
Strecke / Zeit = 80 km/h
Strecke / 5 h = 80 km/h
Strecke = 400 km
Das Auto würde also in 5 Stunden eine Strecke von 400 km zurücklegen.
Beispiel 2:
Ein Rezept für 4 Personen benötigt 200 g Mehl. Wie viel Mehl benötigt man für 8 Personen?
Lösung:
Wir wissen, dass das Verhältnis von Personenzahl und Mehlmenge konstant ist. Das heißt, dass die Mehlmenge proportional zur Personenzahl ist.
Wir können also eine Proportionalitätsgleichung aufstellen:
Mehlmenge / Personenzahl = konstant
Wir setzen die gegebenen Werte ein:
200 g / 4 Personen = k
k = 50 g/Person
Jetzt können wir die Frage beantworten:
Mehlmenge / Personenzahl = 50 g/Person
Mehlmenge / 8 Personen = 50 g/Person
Mehlmenge = 400 g
Man benötigt also für 8 Personen 400 g Mehl.
Antiproportionale Zuordnungen
Bei antiproportionalen Zuordnungen gilt: Wenn eine Größe verdoppelt oder halbiert wird, dann wird die andere Größe halbiert oder verdoppelt.
Beispiel 1:
Ein Arbeiter benötigt für ein Bauvorhaben 10 Tage. Wie viele Arbeiter benötigt man, um das gleiche Bauvorhaben in 5 Tagen zu erledigen?
Lösung:
Wir wissen, dass das Verhältnis von Arbeitszeit und Anzahl der Arbeiter konstant ist. Das heißt, dass die Anzahl der Arbeiter antiproportional zur Arbeitszeit ist.
Wir können also eine Proportionalitätsgleichung aufstellen:
Anzahl der Arbeiter * Arbeitszeit = konstant
Wir setzen die gegebenen Werte ein:
Anzahl der Arbeiter * 10 Tage = k
k = Anzahl der Arbeiter * 10 Tage
Jetzt können wir die Frage beantworten:
Anzahl der Arbeiter * Arbeitszeit = k
Anzahl der Arbeiter * 5 Tage = k / 2
Anzahl der Arbeiter = k / 10 Tage
Anzahl der Arbeiter = (k / 10 Tage) * (10 Tage / 5 Tage)
Anzahl der Arbeiter = k / 5 Tage
Das bedeutet, dass man für das gleiche Bauvorhaben in 5 Tagen doppelt so viele Arbeiter benötigt, also 2 Arbeiter.
Beispiel 2:
Ein Tank hat ein Fassungsvermögen von 40 Litern und wird mit einer Geschwindigkeit von 4 Litern pro Minute befüllt. Wie lange dauert es, den Tank vollständig zu befüllen?
Lösung:
Wir wissen, dass das Verhältnis von Fassungsvermögen und Befüllungsrate konstant ist. Das heißt, dass die Befüllungsrate antiproportional zum Fassungsvermögen ist.
Wir können also eine Proportionalitätsgleichung aufstellen:
Befüllungsrate * Zeit = Fassungsvermögen
Wir setzen die gegebenen Werte ein:
4 L/min * Zeit = 40 L
Jetzt können wir die Frage beantworten:
Befüllungsrate * Zeit = 40 L
Befüllungsrate * (40 L / Befüllungsrate) = 40 L
Zeit = 40 L / Befüllungsrate
Zeit = 40 L / 4 L/min
Zeit = 10 min
Es dauert also 10 Minuten, den Tank vollständig zu befüllen.
- Ein Fahrradfahrer legt 20 km in einer Stunde zurück. Wie lange braucht er für 60 km?
- Ein Teich wird mit einer Pumpe in 4 Stunden befüllt. Wie lange dauert es, den Teich mit zwei Pumpen zu befüllen?
- Ein Paket kostet 8 € für 2 kg. Wie viel kostet 3 kg?
- Ein LKW benötigt für eine Strecke von 240 km 6 Stunden. Wie lange braucht er für eine Strecke von 480 km?
| Aufgabe | Lösung |
|---|---|
| 1. Ein Fahrradfahrer legt 20 km in einer Stunde zurück. Wie lange braucht er für 60 km? | Der Fahrradfahrer braucht 3 Stunden für 60 km. |
| 2. Ein Teich wird mit einer Pumpe in 4 Stunden befüllt. Wie lange dauert es, den Teich mit zwei Pumpen zu befüllen? | Es dauert 2 Stunden, den Teich mit zwei Pumpen zu befüllen. |
| 3. Ein Paket kostet 8 € für 2 kg. Wie viel kostet 3 kg? | Das Paket kostet 12 € für 3 kg. |
| 4. Ein LKW benötigt für eine Strecke von 240 km 6 Stunden. Wie lange braucht er für eine Strecke von 480 km? | Der LKW braucht 12 Stunden für 480 km. |
In der 7. Klasse beschäftigen sich die Schülerinnen und Schüler mit proportionale und antiproportionale Zuordnungen. Diese mathematischen Konzepte sind wichtig, um zum Beispiel in der Physik oder in der Wirtschaftslehre Zusammenhänge und Verhältnisse zu verstehen.
Proportionale Zuordnungen
Bei proportionale Zuordnungen ändert sich der Wert einer Größe immer proportional zum Wert einer anderen Größe. Das bedeutet, dass wenn eine Größe sich um einen bestimmten Wert ändert, die andere Größe sich um denselben Wert ändert. Ein Beispiel hierfür ist die Geschwindigkeit. Wenn sich die Zeit verdoppelt, dann verdoppelt sich auch die zurückgelegte Strecke.
Um dies zu veranschaulichen, kann man folgende Übungsaufgabe lösen:
- Ein Auto fährt mit 80 km/h. Wie lange braucht es, um eine Strecke von 240 km zurückzulegen?
- Lösung: Die Zeit, die das Auto braucht, ist proportional zur zurückgelegten Strecke. Die Formel lautet: Zeit = Strecke / Geschwindigkeit. Also: Zeit = 240 km / 80 km/h = 3 Stunden.
Antiproportionale Zuordnungen
Bei antiproportionale Zuordnungen ändert sich der Wert einer Größe immer umgekehrt proportional zum Wert einer anderen Größe. Das bedeutet, dass wenn eine Größe sich um einen bestimmten Wert ändert, die andere Größe sich um den Kehrwert dieses Wertes ändert. Ein Beispiel hierfür ist die Zeit. Wenn man schneller arbeitet, braucht man weniger Zeit.
Um dies zu veranschaulichen, kann man folgende Übungsaufgabe lösen:
- Ein Arbeiter kann eine Aufgabe in 6 Stunden erledigen. Wie lange braucht er, wenn er schneller arbeitet und die Aufgabe in 4 Stunden erledigen möchte?
- Lösung: Die Zeit, die der Arbeiter braucht, ist antiproportional zur Leistung. Die Formel lautet: Zeit = konstanter Wert / Leistung. Also: Zeit = 6 Stunden * (6/4) = 9 Stunden.
Zusammenfassung
Proportionale und antiproportionale Zuordnungen sind wichtige mathematische Konzepte, die in vielen Bereichen Anwendung finden. Mit Hilfe von Übungsaufgaben können Schülerinnen und Schüler diese Konzepte besser verstehen und anwenden. Es ist wichtig, dass sie die Unterschiede zwischen den beiden Arten von Zuordnungen verstehen und in der Lage sind, diese in verschiedenen Situationen anzuwenden.
| Übungsaufgabe | Lösung |
|---|---|
| Ein Auto fährt mit 60 km/h. Wie lange braucht es, um eine Strecke von 180 km zurückzulegen? | Die Zeit, die das Auto braucht, ist proportional zur zurückgelegten Strecke. Die Formel lautet: Zeit = Strecke / Geschwindigkeit. Also: Zeit = 180 km / 60 km/h = 3 Stunden. |
| Ein Maler kann einen Raum in 6 Stunden streichen. Wie lange braucht er, wenn er schneller arbeitet und den Raum in 4 Stunden streichen möchte? | Die Zeit, die der Maler braucht, ist antiproportional zur Leistung. Die Formel lautet: Zeit = konstanter Wert / Leistung. Also: Zeit = 6 Stunden * (6/4) = 9 Stunden. |
Übungsaufgaben sind ein wichtiger Bestandteil des Mathematikunterrichts. Mit Hilfe von Übungsaufgaben können Schülerinnen und Schüler ihre Fähigkeiten verbessern und sicherer im Umgang mit mathematischen Konzepten werden. Wenn man regelmäßig übt und sich mit den verschiedenen Arten von Zuordnungen auseinandersetzt, wird man bald merken, dass man diese Konzepte leichter versteht und anwenden kann.