Öffnen Lösungen PDF – Baumdiagramm
Übung 1: Ziehen von Kugeln aus einer Urne
Gegeben ist eine Urne mit 5 roten und 3 blauen Kugeln. Es werden nacheinander 2 Kugeln gezogen. Erstelle ein Baumdiagramm und bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind.
Lösung:Baumdiagramm
Zuerst wird eine Kugel gezogen. Es gibt entweder eine rote oder eine blaue Kugel. Danach wird eine zweite Kugel gezogen. Auch hier gibt es nur zwei Möglichkeiten: entweder eine rote oder eine blaue Kugel.
| 1. Zug | 2. Zug |
|---|---|
| R | R |
| R | B |
| B | R |
| B | B |
Berechnung der Wahrscheinlichkeit
Es gibt insgesamt 8 Möglichkeiten, zwei Kugeln zu ziehen. Nur eine davon ist die, dass beide Kugeln rot sind. Daher ist die Wahrscheinlichkeit:
- Anzahl der günstigen Ereignisse: 1
- Anzahl der möglichen Ereignisse: 8
P(beide Kugeln rot) = 1/8 = 0.125 = 12.5%
Übung 2: Wer wird Schulsprecher?
In einer Klasse gibt es 3 Kandidaten für das Amt des Schulsprechers: Anna, Ben und Carla. Jeder Schüler der Klasse hat eine Stimme und kann für einen der Kandidaten stimmen. Erstelle ein Baumdiagramm und bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Anna Schulsprecher wird.
Lösung:Baumdiagramm
Es gibt drei mögliche Ausgänge: Anna wird gewählt, Ben wird gewählt oder Carla wird gewählt. Jeder Ausgang hat die gleiche Wahrscheinlichkeit.
| Stimme 1 | Schulsprecher |
|---|---|
| Anna | Anna |
| Anna | Ben |
| Anna | Carla |
| Ben | Anna |
| Ben | Ben |
| Ben | Carla |
| Carla | Anna |
| Carla | Ben |
| Carla | Carla |
Berechnung der Wahrscheinlichkeit
Es gibt insgesamt 3 Möglichkeiten, wer Schulsprecher wird. Nur eine davon ist die, dass Anna Schulsprecher wird. Daher ist die Wahrscheinlichkeit:
- Anzahl der günstigen Ereignisse: 1
- Anzahl der möglichen Ereignisse: 3
P(Anna wird Schulsprecher) = 1/3 = 0.33 = 33%
Ein Baumdiagramm ist eine grafische Darstellung von Wahrscheinlichkeiten. In der Klasse 8 werden Schülerinnen und Schüler oft mit Aufgaben zu Baumdiagrammen konfrontiert. Hier sind einige Beispiele:
Beispiel 1: Würfelwurf
Ein fairer Würfel wird zweimal geworfen. Erstelle ein Baumdiagramm und berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide Würfe eine gerade Zahl ergeben.
Lösung:
Das Baumdiagramm sieht wie folgt aus:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 1,1 | 1,2 | 1,3 | 1,4 | 1,5 | 1,6 |
| 2 | 2,1 | 2,2 | 2,3 | 2,4 | 2,5 | 2,6 |
| 3 | 3,1 | 3,2 | 3,3 | 3,4 | 3,5 | 3,6 |
| 4 | 4,1 | 4,2 | 4,3 | 4,4 | 4,5 | 4,6 |
| 5 | 5,1 | 5,2 | 5,3 | 5,4 | 5,5 | 5,6 |
| 6 | 6,1 | 6,2 | 6,3 | 6,4 | 6,5 | 6,6 |
Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Würfe eine gerade Zahl ergeben, ist:
P(gerade Zahl beim 1. Wurf) * P(gerade Zahl beim 2. Wurf) = 1/2 * 1/2 = 1/4
Beispiel 2: Ziehen von Kugeln
Es gibt eine Urne mit 3 roten und 2 blauen Kugeln. Zwei Kugeln werden ohne Zurücklegen gezogen. Erstelle ein Baumdiagramm und berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind.
Lösung:
Das Baumdiagramm sieht wie folgt aus:
| R1 | R2 | B1 | B2 | |
| R1 | R1,R2 | R1,B1 | R1,B2 | |
| R2 | R2,R1 | R2,B1 | R2,B2 | |
| B1 | B1,R1 | B1,R2 | B1,B2 | |
| B2 | B2,R1 | B2,R2 | B2,B1 |
Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind, ist:
P(R1) * P(R2|R1) = 3/5 * 2/4 = 3/10
Fazit
Baumdiagramme können bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten sehr hilfreich sein. Es ist wichtig, die Regeln für die Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten zu kennen und zu verstehen, wie man ein Baumdiagramm erstellt. Mit Übung und Erfahrung können Schülerinnen und Schüler komplexe Baumdiagramme lösen und in der Klasse 8 gute Noten erzielen.
Quelle: Eigene Zusammenstellung