Öffnen Lösungen PDF – Faktorisieren
Beispiel 1: Ausklammern
Löse die folgende Aufgabe durch Ausklammern:
12x + 24y = ?
Lösung:
Zunächst kann man den gemeinsamen Faktor 12 ausklammern:
12(x + 2y) = ?
Das Ergebnis lautet also 12(x + 2y).
Beispiel 2: Quadratische Ergänzung
Löse die folgende quadratische Gleichung durch Faktorisieren:
x² + 6x + 9 = 0
Lösung:
Man erkennt, dass der Ausdruck (x+3)² in der Gleichung vorkommt. Daher kann man die Gleichung umformen:
(x+3)² = 0
Durch das Ausmultiplizieren erhält man:
x² + 6x + 9 = (x+3)² = 0
Das Ergebnis lautet also x = -3.
Übung 1: Ausklammern
Löse die folgende Aufgabe durch Ausklammern:
3a + 6b = ?
Lösung:
Man kann den gemeinsamen Faktor 3 ausklammern:
3(a + 2b) = ?
Das Ergebnis lautet also 3(a + 2b).
Übung 2: Quadratische Ergänzung
Löse die folgende quadratische Gleichung durch Faktorisieren:
x² + 2x – 8 = 0
Lösung:
Man sucht nach zwei Zahlen, die addiert 2 und multipliziert -8 ergeben. Diese Zahlen sind 4 und -2. Daher kann man die Gleichung umformen:
(x+4)(x-2) = 0
Durch das Ausmultiplizieren erhält man:
x² + 2x – 8 = (x+4)(x-2) = 0
Das Ergebnis lautet also x = -4 oder x = 2.
Beispiel 3: Gemeinsamer Faktor
Löse die folgende Aufgabe durch Faktorisieren des gemeinsamen Faktors:
5x² – 10x = ?
Lösung:
Man kann den gemeinsamen Faktor 5x ausklammern:
5x(x – 2) = ?
Das Ergebnis lautet also 5x(x – 2).
Beispiel 4: Binomische Formeln
Löse die folgende quadratische Gleichung durch Anwendung der binomischen Formeln:
x² + 8x + 16 = 0
Lösung:
Man erkennt, dass der Ausdruck (x+4)² in der Gleichung vorkommt. Daher kann man die Gleichung umformen:
(x+4)² = 0
Durch das Anwenden der binomischen Formel erhält man:
x² + 8x + 16 = (x+4)² = 0
Das Ergebnis lautet also x = -4.
Übung 3: Gemeinsamer Faktor
Löse die folgende Aufgabe durch Faktorisieren des gemeinsamen Faktors:
8a²b – 12ab² = ?
Lösung:
Man kann den gemeinsamen Faktor 4ab ausklammern:
4ab(2a – 3b) = ?
Das Ergebnis lautet also 4ab(2a – 3b).
Übung 4: Binomische Formeln
Löse die folgende quadratische Gleichung durch Anwendung der binomischen Formeln:
x² – 10x + 25 = 0
Lösung:
Man erkennt, dass der Ausdruck (x-5)² in der Gleichung vorkommt. Daher kann man die Gleichung umformen:
(x-5)² = 0
Durch das Anwenden der binomischen Formel erhält man:
x² – 10x + 25 = (x-5)² = 0
Das Ergebnis lautet also x = 5.
Zusammenfassung
In dieser Lektion haben wir gelernt, wie man quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen kann. Dabei haben wir verschiedene Methoden wie Ausklammern, quadratische Ergänzung, Faktorisieren des gemeinsamen Faktors und Anwendung der binomischen Formeln kennengelernt. Mit diesen Methoden können wir nun verschiedene Aufgaben zur Faktorisierung lösen.
Quiz
- Wie kann man eine quadratische Gleichung durch Ausklammern lösen?
- Wie lautet die Lösung der Gleichung x² + 4x + 4 = 0?
- Wie kann man eine quadratische Gleichung durch Anwendung der binomischen Formeln lösen?
- Wie lautet die Lösung der Gleichung 6x² + 12x = 0?
Antworten zum Quiz
- Man sucht nach einem gemeinsamen Faktor und klammert diesen aus.
- Die Lösung lautet x = -2.
- Man erkennt, welche binomische Formel in der Gleichung vorkommt und wendet diese an.
- Die Lösung lautet x = 0 oder x = -2.
In der 8. Klasse Mathematik steht das Thema Faktorisieren auf dem Lehrplan. Dabei geht es darum, algebraische Ausdrücke in ihre Faktoren zu zerlegen. Das kann am Anfang etwas kompliziert erscheinen, aber mit ein wenig Übung und den richtigen Lösungen wird es schnell einfacher.
Was ist Faktorisieren?
Beim Faktorisieren geht es darum, algebraische Ausdrücke in ihre Bestandteile zu zerlegen. Dabei werden die Ausdrücke in Faktoren zerlegt, die Multiplikationen von Variablen und/oder Konstanten darstellen. Das Ziel ist es, den Ausdruck so zu vereinfachen, dass er einfacher zu handhaben ist.
Beispiel-Aufgabe:
Faktorisiere den Ausdruck: 6x² + 12x
Lösung:
Zunächst müssen wir den größten gemeinsamen Faktor von 6x² und 12x finden, der hier 6x ist. Wir können also schreiben:
6x (x + 2)
Damit haben wir den Ausdruck in seine Faktoren zerlegt.
Weitere Übungsaufgaben:
- Faktorisiere den Ausdruck: 10y² – 25y
- Faktorisiere den Ausdruck: 3x³ – 6x²
- Faktorisiere den Ausdruck: 4a² – 12ab + 8b²
Lösungen:
- 5y (2y – 5)
- 3x² (x – 2)
- 4 (a – 2b)²
Mit diesen Übungsaufgaben solltest du dein Verständnis für das Faktorisieren vertiefen können. Wenn du Schwierigkeiten hast, solltest du immer einen Blick auf die Lösungen werfen, um zu verstehen, wie man zu ihnen kommt.
Fazit:
Faktorisieren kann am Anfang etwas schwierig erscheinen, aber mit ein wenig Übung und den richtigen Lösungen wird es schnell einfacher. Es ist ein wichtiger Teil der Algebra und wird in höheren Klassenstufen noch weiter vertieft. Mit den hier gezeigten Beispielen und Übungsaufgaben solltest du jedoch in der Lage sein, Faktorisieren in der 8. Klasse zu meistern.
| Vorteile: | Nachteile: |
|---|---|
| – Vereinfacht algebraische Ausdrücke | – Am Anfang kann es schwierig sein |
| – Wird in höheren Klassenstufen weiter vertieft | – Benötigt Übung und Verständnis |