Öffnen Lösungen PDF – Extremwert Gymnasium
Beispiel 1: Maximales Volumen
Ein Quadrat soll zu einer offenen Schachtel gefaltet werden. Gesucht ist das maximale Volumen dieser Schachtel.
Lösung:
- Zeichne eine Skizze der Schachtel und definiere die Größe des Quadrats.
- Berechne die Höhe der Schachtel in Abhängigkeit von der Seitenlänge des Quadrats.
- Bestimme die Funktion für das Volumen der Schachtel.
- Berechne die Ableitung der Funktion und löse die Gleichung f'(x) = 0.
- Bestimme das Maximum der Funktion und damit das maximale Volumen der Schachtel.
Die Skizze zeigt, dass die Schachtel eine Höhe h hat, die der Seitenlänge des Quadrats x entspricht. Das Volumen der Schachtel ist dann:
V(x) = x * x * h = x2 * h
Durch die Pythagoras-Formel ergibt sich:
h = √(x2 + x2) = √2x2 = x * √2
Das Volumen wird somit zu:
V(x) = x2 * x * √2 = x3 * √2
Die Ableitung der Funktion lautet:
f'(x) = 3x2 * √2
Um das Maximum der Funktion zu finden, setzen wir f'(x) gleich Null:
3x2 * √2 = 0
Daraus folgt, dass x = 0 oder x ≠ 0. Da x ≠ 0 gilt, können wir die Ableitung durch x2 * √2 teilen und erhalten:
x = 0 oder x = 0
Das ist ein Widerspruch, daher gibt es kein Maximum und somit auch kein maximales Volumen.
Beispiel 2: Minimale Oberfläche
Gegeben ist ein Zylinder mit einem Volumen von 500 cm³. Gesucht ist die Minimaloberfläche des Zylinders.
Lösung:
- Definiere die Größen des Zylinders und stelle eine Gleichung für das Volumen auf.
- Stelle eine Gleichung für die Oberfläche des Zylinders auf.
- Ersetze die Höhe des Zylinders durch eine Funktion in Abhängigkeit vom Radius.
- Setze das Volumen gleich 500 cm³ und löse die Gleichung nach dem Radius auf.
- Setze den Radius in die Gleichung für die Oberfläche ein und bestimme das Minimum.
Die Größen des Zylinders sind der Radius r und die Höhe h. Das Volumen des Zylinders ist:
V = π * r2 * h
Die Oberfläche des Zylinders setzt sich aus der Mantelfläche und den Deckflächen zusammen:
O = 2 * π * r * h + 2 * π * r2
Da das Volumen gegeben ist, können wir die Höhe durch das Volumen und den Radius ausdrücken:
h = V / (π * r2)
Durch Einsetzen erhalten wir die Gleichung für die Oberfläche in Abhängigkeit vom Radius:
O(r) = 2 * π * r * (V / (π * r2)) + 2 * π * r2 = 2 * π * r * (V / (π * r2) + r)
Um das Minimum der Funktion zu finden, setzen wir die Ableitung gleich Null:
f'(r) = 2π * (V / r2 – 1) = 0
Daraus folgt, dass V / r2 = 1 und somit r = √V = √500 ≈ 22,36 cm.
Das Minimum der Oberfläche ist:
O(22,36) ≈ 314,16 cm²
In der 9. Klasse Gymnasium gehört das Thema „Extremwertaufgaben“ in der Mathematik zu den anspruchsvollsten Themen. Hier geht es darum, reale Sachverhalte mathematisch zu modellieren und mithilfe von Ableitungen die Extremstellen zu berechnen. In diesem Blogbeitrag werden wir uns mit einigen Beispielen von Extremwertaufgaben befassen und deren Lösungen präsentieren.
Beispiel 1: Maximales Rechteck
Ein Rechteck soll so konstruiert werden, dass sein Flächeninhalt maximal wird. Die Gesamtfläche des Rechtecks darf dabei 100 cm² nicht überschreiten. Wie groß sind die Seitenlängen des Rechtecks?
Um diese Aufgabe zu lösen, modellieren wir das Rechteck mit den Seitenlängen x und y. Der Flächeninhalt A ist dann A = x * y. Die Nebenbedingung lautet x + y = 50 (da die Gesamtfläche 100 cm² beträgt).
Um das Maximum zu finden, bilden wir die Ableitung von A nach x: A‘ = y. Die Ableitung von y nach x ist -1/y. Daraus ergibt sich die Gleichung:
y = x/2
Setzen wir dies in die Nebenbedingung ein, erhalten wir:
x + x/2 = 50
Daraus ergibt sich x = 33,33 cm und y = 16,67 cm. Das maximale Rechteck hat somit die Seitenlängen 33,33 cm und 16,67 cm und einen Flächeninhalt von 555,56 cm².
Beispiel 2: Minimales Material
Ein rechteckiger Karton soll aus einem einzigen quadratischen Stück Pappe hergestellt werden. Der Karton soll ein Volumen von 1000 cm³ haben. Wie groß muss das quadratische Stück Pappe sein, damit der Materialverbrauch minimal ist?
Um diese Aufgabe zu lösen, modellieren wir das Volumen des Kartons mit den Seitenlängen x, y und z. Das Volumen ist dann V = x * y * z = 1000 cm³. Da der Karton rechteckig sein soll, gilt z = h. Der Materialverbrauch ist abhängig von der Fläche des quadratischen Stücks Pappe, die wir mit A bezeichnen.
Um das Minimum zu finden, bilden wir die Ableitung von A nach x: A‘ = 4h – 3x.
Die Ableitungen von y und z nach x sind -z/y und -x/y. Daraus ergibt sich das Gleichungssystem:
z = h
y = (1000/h)/x
x * y * z = 1000
Setzen wir die erste und die dritte Gleichung in die zweite ein, erhalten wir:
y = 1000/(hx)
Setzen wir dies in die Ableitung von A nach x ein, erhalten wir:
A‘ = 4h – 3000/x²
Um das Minimum zu finden, setzen wir die Ableitung gleich Null:
4h = 3000/x²
Daraus ergibt sich x = 9,08 cm und h = 11,03 cm. Das minimale quadratische Stück Pappe hat somit eine Seitenlänge von 11,03 cm und einen Materialverbrauch von 120,83 cm².
Fazit
Extremwertaufgaben können in der Mathematik sehr anspruchsvoll sein, da sie den Schülern abverlangen, reale Sachverhalte mathematisch zu modellieren und mithilfe von Ableitungen zu lösen. In diesem Blogbeitrag haben wir uns mit zwei Beispielen von Extremwertaufgaben beschäftigt und deren Lösungen präsentiert. Mit etwas Übung und Geduld lassen sich jedoch auch komplexere Aufgaben dieser Art lösen.
- Konzentriere dich auf die Modellierung des Problems und formuliere die Nebenbedingungen.
- Bilde die Ableitungen und setze sie gleich Null, um die Extremstellen zu finden.
- Überprüfe die Lösungen auf Plausibilität.
| Beispiel | Problemstellung | Lösung |
|---|---|---|
| 1 | Maximales Rechteck | 33,33 cm und 16,67 cm |
| 2 | Minimales Material | 11,03 cm |