Öffnen Lösungen PDF – Extremwertprobleme
Beispiel 1:
Ein rechteckiger Zaun soll um einen rechteckigen Garten gezogen werden. Der Zaun soll 30 Meter lang sein und darf höchstens 80 Meter kosten. Wie groß darf der Garten höchstens sein?
Lösung:
Wir nennen die Länge des Gartens x und seine Breite y. Dann wissen wir, dass der Umfang des Gartens 30 Meter beträgt:
2x + 2y = 30
oder
x + y = 15
Wir wissen auch, dass der Preis des Zauns höchstens 80 Meter beträgt:
2x + 2y = P ≤ 80
oder
x + y ≤ 40
Wir wollen nun den maximalen Bereich des Gartens finden. Dies geschieht, indem wir das Optimierungsproblem aufstellen:
maximiere A = xy
unter den Nebenbedingungen:
x + y = 15
x + y ≤ 40
Um diese Aufgabe zu lösen, können wir das Substitutionsverfahren anwenden. Wir lösen zunächst die erste Nebenbedingung nach y auf:
y = 15 – x
Dann setzen wir dies in die zweite Nebenbedingung ein:
x + (15 – x) ≤ 40
15 ≤ 40
Diese Ungleichung ist erfüllt, also haben wir keine Einschränkungen für x. Wir können nun die Funktion A = xy optimieren:
A = x(15 – x)
A = -x^2 + 15x
Die Ableitung dieser Funktion ist:
A‘ = -2x + 15
Wir setzen dies gleich Null und lösen nach x auf:
-2x + 15 = 0
x = 7,5
Wir setzen dies in die erste Nebenbedingung ein:
7,5 + y = 15
y = 7,5
Also ist der maximale Bereich des Gartens 7,5 Meter mal 7,5 Meter, also 56,25 Quadratmeter.
Beispiel 2:
Ein rechteckiges Plakat soll aufgehängt werden. Der obere Rand des Plakats soll 2 Meter über dem Boden sein, und der untere Rand soll 1 Meter über dem Boden sein. Das Plakat darf höchstens 3 Meter breit sein. Wie hoch muss es sein, damit seine Fläche maximal ist?
Lösung:
Wir nennen die Höhe des Plakats x und seine Breite y. Dann wissen wir, dass der obere Rand des Plakats 2 Meter über dem Boden ist:
x = 2 + y
Wir wissen auch, dass der untere Rand des Plakats 1 Meter über dem Boden ist:
2x – y = 3
Wir wollen nun die maximale Fläche des Plakats finden. Dies geschieht, indem wir das Optimierungsproblem aufstellen:
maximiere A = xy
unter den Nebenbedingungen:
x = 2 + y
2x – y = 3
Um diese Aufgabe zu lösen, können wir das Substitutionsverfahren anwenden. Wir lösen zunächst die erste Nebenbedingung nach y auf:
y = x – 2
Dann setzen wir dies in die zweite Nebenbedingung ein:
2x – (x – 2) = 3
x = 5
Wir setzen dies in die erste Nebenbedingung ein:
y = 3
Also ist das maximale Plakat 5 Meter breit und 3 Meter hoch, also 15 Quadratmeter groß.
Beispiel 3:
Ein Zylinder soll aus einem Blatt Papier gefaltet werden. Wie groß muss das Blatt sein, damit der Zylinder ein maximales Volumen hat?
Lösung:
Wir nennen die Höhe des Zylinders h und seinen Radius r. Dann wissen wir, dass das Volumen des Zylinders gegeben ist durch:
V = πr^2h
Wir wissen auch, dass die Fläche des Blatts Papier gegeben ist durch:
A = 2πr(r + h)
Wir wollen nun das Blatt Papier mit der größten Fläche finden, damit der Zylinder das größtmögliche Volumen hat. Dies geschieht, indem wir das Optimierungsproblem aufstellen:
maximiere A = 2πr(r + h)
unter der Nebenbedingung:
V = πr^2h
Wir lösen die Nebenbedingung nach h auf:
h = V / (πr^2)
Dann setzen wir dies in die Funktion für A ein:
A = 2πr(r + V / (πr^2))
A = 2πr^2 + 2V / r
Die Ableitung dieser Funktion ist:
A‘ = 4πr – 2V / r^2
Wir setzen dies gleich Null und lösen nach r auf:
4πr = 2V / r^2
2r^3 = V / π
r = (V / 2π)^(1/3)
Wir setzen dies in die Nebenbedingung ein:
h = V / (π(V / 2π)^(2/3))
h = 2^(1/3) * (V / π)^(2/3)
Also ist das Blatt Papier, das den Zylinder mit maximalem Volumen ergibt, ein Quadrat mit der Seitenlänge 2^(1/3) * (V / π)^(2/3).
In der 9. Klasse Mathematik beschäftigen sich Schülerinnen und Schüler mit verschiedenen Themen, darunter auch Extremwertprobleme. Diese Aufgaben erfordern oft ein hohes Maß an logischem Denken und kritischem Urteilsvermögen. In diesem Blogbeitrag möchten wir Ihnen einige Aufgaben zu diesem Thema vorstellen und Ihnen Lösungen anbieten.
Was sind Extremwertprobleme?
Extremwertprobleme sind mathematische Probleme, bei denen man nach einem Extremum sucht. Ein Extremum kann ein Maximum oder Minimum sein. Die Lösung dieser Art von Problemen kann schwierig sein, da es oft mehrere Variablen gibt, die berücksichtigt werden müssen. In der 9. Klasse Mathematik werden Schülerinnen und Schüler mit einfachen Extremwertproblemen vertraut gemacht.
Beispiel-Aufgaben
Aufgabe 1:
Ein Rechteck soll aus einem Stück Draht mit der Länge 24 cm geformt werden. Bestimmen Sie die Maße des Rechtecks, bei dem der Flächeninhalt am größten ist.
Lösung:Wir müssen das Rechteck mit den Maßen x und y finden, bei dem der Flächeninhalt am größten ist. Wir wissen, dass der Umfang des Rechtecks 24 cm beträgt.
2x + 2y = 24
x + y = 12
y = 12 – x
Der Flächeninhalt A des Rechtecks ist:
A = xy
A = x (12 – x)
A = 12x – x²
Um das Maximum zu finden, können wir die Ableitung von A berechnen:
A‘ = 12 – 2x
Setzen wir A‘ gleich Null und lösen nach x auf:
12 – 2x = 0
x = 6
Damit ist y = 6 und das Rechteck hat die Maße 6 cm x 6 cm. Der Flächeninhalt beträgt 36 cm².
Aufgabe 2:
Ein Kegel soll aus einem Kreis mit dem Radius r und einem gleichschenkligen Dreieck mit der Höhe h gebildet werden. Das Volumen des Kegels soll 10 cm³ betragen. Bestimmen Sie die Maße des Kegels, bei dem die Oberfläche minimal ist.
Lösung:Das Volumen V des Kegels ist:
V = 1/3 * π * r² * h
Wir haben auch die Bedingung, dass V = 10 cm³ ist. Wir können die Höhe h in Abhängigkeit von r ausdrücken:
h = 3 * V / (π * r²)
Die Oberfläche O des Kegels ist:
O = πr² + πr√(r² + h²)
Wir setzen h in die Gleichung für O ein:
O = πr² + πr√(r² + (3V/πr²)²)
Um das Minimum zu finden, können wir die Ableitung von O berechnen:
O‘ = 2πr + π√(r² + (3V/πr²)²) – πV/r * √(r² + (3V/πr²)²)
Setzen wir O‘ gleich Null und lösen nach r auf:
2πr + π√(r² + (3V/πr²)²) – πV/r * √(r² + (3V/πr²)²) = 0
Wir können diese Gleichung nicht analytisch lösen, aber wir können eine numerische Lösung finden. Wir können zum Beispiel ein Computerprogramm wie Excel oder Python verwenden, um die Lösung zu finden. Die Lösung ist r ≈ 1,67 cm und h ≈ 3,57 cm. Das minimale Oberflächenareal des Kegels beträgt dann etwa 14,93 cm².
Fazit
Extremwertprobleme können schwierig sein, erfordern aber oft nur Grundkenntnisse der Differentialrechnung und der Geometrie. Mit ein wenig Übung können Schülerinnen und Schüler diese Art von Problemen schnell lösen. Wir hoffen, dass dieser Blogbeitrag Ihnen geholfen hat, Extremwertprobleme besser zu verstehen und zu lösen.
- Bestimmen Sie die Maße des Rechtecks, bei dem der Flächeninhalt am größten ist.
- Bestimmen Sie die Maße des Kegels, bei dem die Oberfläche minimal ist.
| Aufgabe | Lösung |
|---|---|
| 1 | 6 cm x 6 cm, 36 cm² |
| 2 | r ≈ 1,67 cm, h ≈ 3,57 cm, 14,93 cm² |