Parabeln Aufgaben Klasse 9 Mit Lösungen

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Beispiel 1: Bestimmung der Scheitelpunktform

Gegeben ist die Parabel f(x) = x² + 4x + 3. Bestimme die Scheitelpunktform.

Lösung:

1. Zunächst müssen wir die Scheitelpunktform kennen: f(x) = a(x – h)² + k
2. Um die Scheitelpunktform zu bestimmen, müssen wir zuerst a, h und k finden.
3. Wir beginnen mit a. Da die Parabel nach oben geöffnet ist (positiver a-Wert) und der Koeffizient von x² 1 ist, gilt a = 1.
4. Um h zu finden, setzen wir x = -b/2a in die Parabelgleichung ein und erhalten: f(-2) = 1*(-2)² + 4*(-2) + 3 = -1. Somit ist h = -2.
5. Zum Schluss bestimmen wir k, indem wir h und f(h) in die Scheitelpunktform einsetzen: f(-2) = 1*(-2 – (-2))² + k = 1*0² + k = k. Da f(-2) = -1, ist k = -1.
6. Damit lautet die Scheitelpunktform: f(x) = (x + 2)² – 1

Beispiel 2: Bestimmung von Nullstellen und Scheitelpunkt

Gegeben ist die Parabel f(x) = x² – 6x + 5. Bestimme die Nullstellen und den Scheitelpunkt.

Lösung:

1. Zunächst bestimmen wir die Nullstellen. Dazu setzen wir f(x) = 0 und lösen nach x auf: x² – 6x + 5 = 0. Mit der quadratischen Ergänzung erhalten wir (x – 3)² = 4. Daraus folgt x₁ = 1 und x₂ = 5.
2. Um den Scheitelpunkt zu bestimmen, verwenden wir die Scheitelpunktform: f(x) = (x – 3)² + 2. Daraus folgt, dass der Scheitelpunkt bei (3, 2) liegt.

Beispiel 3: Aufstellen einer Parabelgleichung

Gegeben ist eine Parabel mit Scheitelpunkt (2, -3) und einem weiteren Punkt auf der Parabel mit den Koordinaten (4, 1). Bestimme die Parabelgleichung.

Lösung:

1. Da der Scheitelpunkt bekannt ist, können wir die Scheitelpunktform verwenden: f(x) = a(x – 2)² – 3.
2. Um den Wert von a zu bestimmen, setzen wir den Punkt (4, 1) in die Parabelgleichung ein und erhalten: 1 = a(4 – 2)² – 3. Daraus folgt a = 2.
3. Damit lautet die Parabelgleichung: f(x) = 2(x – 2)² – 3

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Übung 1: Bestimmung der Scheitelpunktform

Gegeben ist die Parabel f(x) = -2x² + 12x – 15. Bestimme die Scheitelpunktform.

Lösung:

1. Zunächst müssen wir die Scheitelpunktform kennen: f(x) = a(x – h)² + k
2. Um die Scheitelpunktform zu bestimmen, müssen wir zuerst a, h und k finden.
3. Wir beginnen mit a. Da die Parabel nach unten geöffnet ist (negativer a-Wert) und der Koeffizient von x² -2 ist, gilt a = -2.
4. Um h zu finden, setzen wir x = -b/2a in die Parabelgleichung ein und erhalten: f(3) = -2*(3)² + 12*(3) – 15 = 3. Somit ist h = 3.
5. Zum Schluss bestimmen wir k, indem wir h und f(h) in die Scheitelpunktform einsetzen: f(3) = -2*(3 – 3)² + k = -2*0² + k = k. Da f(3) = 3, ist k = 3.
6. Damit lautet die Scheitelpunktform: f(x) = -2(x – 3)² + 3

Übung 2: Bestimmung von Nullstellen und Scheitelpunkt

Gegeben ist die Parabel f(x) = x² – 4x + 3. Bestimme die Nullstellen und den Scheitelpunkt.

Lösung:

1. Zunächst bestimmen wir die Nullstellen. Dazu setzen wir f(x) = 0 und lösen nach x auf: x² – 4x + 3 = 0. Mit der quadratischen Ergänzung erhalten wir (x – 2)² = 1. Daraus folgt x₁ = 1 und x₂ = 3.
2. Um den Scheitelpunkt zu bestimmen, verwenden wir die Scheitelpunktform: f(x) = (x – 2)² – 1. Daraus folgt, dass der Scheitelpunkt bei (2, -1) liegt.

Übung 3: Aufstellen einer Parabelgleichung

Gegeben ist eine Parabel mit Scheitelpunkt (-3, 2) und einem weiteren Punkt auf der Parabel mit den Koordinaten (-1, -2). Bestimme die Parabelgleichung.

Lösung:

1. Da der Scheitelpunkt bekannt ist, können wir die Scheitelpunktform verwenden: f(x) = a(x + 3)² + 2.
2. Um den Wert von a zu bestimmen, setzen wir den Punkt (-1, -2) in die Parabelgleichung ein und erhalten: -2 = a(-1 + 3)² + 2. Daraus folgt a = -1/2.
3. Damit lautet die Parabelgleichung: f(x) = -1/2(x + 3)² + 2

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Wenn du dich in der 9. Klasse befindest und gerade das Thema Parabeln in Mathe durchnimmst, dann bist du hier genau richtig. Wir haben für dich einige Aufgaben mit Lösungen zusammengestellt, um dir dabei zu helfen, dieses Thema besser zu verstehen.

Was sind Parabeln?

Parabeln sind eine Art von Kurve in der Mathematik. Sie haben eine bestimmte Form und können auf verschiedene Arten verwendet werden. Zum Beispiel werden Parabeln oft in der Physik verwendet, um die Flugbahn eines Objekts zu berechnen.

Aufgabe 1:

Gegeben ist die Parabel y = x² – 3x + 2. Bestimme den Scheitelpunkt und die Achsensymmetrie.

1. Zuerst müssen wir die Scheitelpunktform der Parabel finden. Dazu dividieren wir den Koeffizienten von x durch 2 und quadrieren das Ergebnis. In diesem Fall ergibt das (3/2)² = 2,25.
2. Dann ziehen wir diese Zahl von der Konstanten ab. In diesem Fall ergibt das 2 – 2,25 = -0,25.
3. Wir haben also die Scheitelpunktform y = (x – 1,5)² – 0,25 gefunden. Der Scheitelpunkt ist also bei (1,5 | -0,25).
4. Die Parabel ist achsensymmetrisch zur Senkrechten durch den Scheitelpunkt. Also lautet die Achsensymmetrie x = 1,5.

Aufgabe 2:

Gegeben ist die Parabel y = -2x² + 8x – 5. Bestimme die Nullstellen.

1. Um die Nullstellen zu finden, setzen wir y = 0 und lösen die Gleichung nach x auf.
2. 0 = -2x² + 8x – 5
3. Wir können die quadratische Ergänzung verwenden, um diese Gleichung zu lösen. Dazu addieren und subtrahieren wir (8/4)² = 4.
4. 0 = -2(x² – 4x + 4) + 13
5. 0 = -2(x – 2)² + 13
6. 2 = ±√(13/2)
7. Die Nullstellen sind also bei x₁ = 2 – √(13/2) und x₂ = 2 + √(13/2).

Zusammenfassung

Parabeln sind eine wichtige Kurve in der Mathematik. Mit den oben genannten Aufgaben und Lösungen solltest du in der Lage sein, Parabeln zu verstehen und zu berechnen. Wenn du weitere Fragen hast, zögere nicht, deinen Lehrer um Hilfe zu bitten.

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Suchbegriff:	Parabeln Aufgaben Klasse 9 Mit Lösungen
Thema:	Parabeln
Schwierigkeitsgrad:	Leicht bis mittel
Voraussetzungen:	Grundlegendes Verständnis von Algebra und Gleichungen

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