Öffnen Lösungen PDF – Strahlensätze
Aufgabe 1: Verhältnis der Strahlen
Gegeben sind zwei Strahlen mit den Längen a und b sowie ein dritter Strahl, der die beiden Strahlen in den Punkten A und B schneidet. Bestimme das Verhältnis der Teilstrecken auf dem dritten Strahl.
Lösung:
Wir setzen das Verhältnis der Teilstrecken auf dem dritten Strahl mit x:y an. Dann ergibt sich aus dem Strahlensatz:
a : b = x + y : y
Umstellen nach y:
y = b * x / (a – b)
Eingesetzt in das Verhältnis:
x : y = x : b * x / (a – b) = (a – b) : b
Das Verhältnis der Teilstrecken auf dem dritten Strahl ist also (a – b) : b.
Aufgabe 2: Berechnung von Streckenlängen
Gegeben sind zwei Strahlen mit den Längen a und b sowie ein dritter Strahl, der die beiden Strahlen in den Punkten A und B schneidet. Die Teilstrecke auf dem dritten Strahl hat die Länge c. Bestimme die Längen der beiden Teilstrecken auf dem dritten Strahl.
Lösung:
Wir setzen das Verhältnis der Teilstrecken auf dem dritten Strahl mit x:y an. Dann ergibt sich aus dem Strahlensatz:
a : b = x + y : y
Umstellen nach y:
y = b * x / (a – b)
Eingesetzt in das Verhältnis:
x : y = x : b * x / (a – b) = (a – b) : b
Da die Summe der Teilstrecken c ergibt, gilt:
x + y = c
Einsetzen von y:
x + b * x / (a – b) = c
Umstellen nach x:
x = c * (a – b) / (a + b)
Eingesetzt in das Verhältnis:
y = b * x / (a – b) = c * b / (a + b)
Die Längen der beiden Teilstrecken auf dem dritten Strahl sind also x = c * (a – b) / (a + b) und y = c * b / (a + b).
Aufgabe 3: Verhältnis der Strahlen bei zwei Schnittpunkten
Gegeben sind zwei Strahlen mit den Längen a und b sowie ein dritter Strahl, der die beiden Strahlen in den Punkten A und B sowie in den Punkten C und D schneidet. Bestimme das Verhältnis der Teilstrecken auf dem dritten Strahl.
Lösung:
Wir setzen das Verhältnis der Teilstrecken auf dem dritten Strahl mit x:y an. Dann ergibt sich aus dem Strahlensatz:
a : b = x + y : y
Da der dritte Strahl auch die Strecken CD und AB schneidet, gilt:
a : b = AC : CD = AB : BD
Wir setzen AC und BD ins Verhältnis:
AC : BD = a : b = x + y : y
Umstellen nach y:
y = b * (x + y) / a
Eingesetzt in das Verhältnis:
x : y = x : b * (x + y) / a = a * x / (a + b * x)
Das Verhältnis der Teilstrecken auf dem dritten Strahl ist also a * x / (a + b * x).
Aufgabe 4: Berechnung von Streckenlängen bei zwei Schnittpunkten
Gegeben sind zwei Strahlen mit den Längen a und b sowie ein dritter Strahl, der die beiden Strahlen in den Punkten A und B sowie in den Punkten C und D schneidet. Die Teilstrecke auf dem dritten Strahl hat die Länge c. Bestimme die Längen der beiden Teilstrecken auf dem dritten Strahl.
Lösung:
Wir setzen das Verhältnis der Teilstrecken auf dem dritten Strahl mit x:y an. Dann ergibt sich aus dem Strahlensatz:
a : b = x + y : y
Da der dritte Strahl auch die Strecken CD und AB schneidet, gilt:
a : b = AC : CD = AB : BD
Wir setzen AC und BD ins Verhältnis:
AC : BD = a : b = x + y : y
Umstellen nach y:
y = b * (x + y) / a
Eingesetzt in das Verhältnis:
x : y = x : b * (x + y) / a = a * x / (a + b * x)
Da die Summe der Teilstrecken c ergibt, gilt:
x + y = c
Einsetzen von y:
x + b * (x + y) / a = c
Umstellen nach x:
x = c * a / (a + 2 * b)
Eingesetzt in das Verhältnis:
y = b * (x + y) / a = c * b / (a + 2 * b)
Die Längen der beiden Teilstrecken auf dem dritten Strahl sind also x = c * a / (a + 2 * b) und y = c * b / (a + 2 * b).
Aufgabe 5: Berechnung von Streckenlängen mit parallelen Strahlen
Gegeben sind zwei parallele Strahlen mit den Längen a und b sowie ein dritter Strahl, der die beiden Strahlen in den Punkten A und B schneidet. Die Teilstrecke auf dem dritten Strahl hat die Länge c. Bestimme die Längen der beiden Teilstrecken auf dem dritten Strahl.
Lösung:
Da die Strahlen parallel sind, ergibt sich aus dem Strahlensatz:
a : b = x : y
Da die Summe der Teilstrecken c ergibt, gilt:
x + y = c
Einsetzen von a : b = x : y:
x + y = c
x + a / b * x = c
Umstellen nach x:
x = c * b / (a + b)
Eingesetzt in die Summe der Teilstrecken:
y = c – x = c * a / (a + b)
Die Längen der beiden Teilstrecken auf dem dritten Strahl sind also x = c * b / (a + b) und y = c * a / (a + b).
Aufgabe 6: Berechnung von Winkeln
Gegeben sind zwei parallele Strahlen mit den Längen a und b sowie ein dritter Strahl, der die beiden Strahlen in den Punkten A und B schneidet. Der Winkel zwischen dem ersten Strahl und dem dritten Strahl beträgt 40°. Bestimme den Winkel zwischen dem zweiten Strahl und dem dritten Strahl.
Lösung:
Da die Strahlen parallel sind, ergibt sich aus dem Strahlensatz:
a : b = x : y
Da der Winkel zwischen dem ersten Strahl und dem dritten Strahl 40° beträgt und die Strahlen parallel sind, ist auch der Winkel zwischen dem zweiten Strahl und dem dritten Strahl 40°.
Der Winkel zwischen dem zweiten Strahl und dem dritten Strahl beträgt also 40°.
Wenn du in der 9. Klasse bist und Mathematik lernst, hast du sicherlich schon von Strahlensätzen gehört. Diese Sätze sind Teil der Geometrie und helfen dir, verschiedene Aufgaben zu lösen. Hier sind einige Strahlensätze Aufgaben Klasse 9 mit Lösungen:
Aufgabe 1:
Gegeben sind zwei parallele Geraden AB und CD und eine dritte Gerade EF, die diese beiden Geraden schneidet. Die Strecken AE, EB, CF und FD sind bekannt. Berechne die Länge der Strecke EF.
Lösung:
Wir wissen, dass AE/EB = CF/FD (erster Strahlensatz). Setzen wir die gegebenen Werte ein, erhalten wir:
AE/EB = CF/FD
AE/8 = 12/FD
AE * FD = 8 * 12
FD = 96/AE
CF = 12 * FD/8 = 12 * 96/AE * 1/8 = 12/AE * 12
EF = AE + CF = AE + 12/AE * 12
Aufgabe 2:
Gegeben sind zwei Strecken AB und CD sowie eine Gerade EF, die diese Strecken schneidet. Die Strecken AE, EB, CF und FD sind bekannt. Berechne die Länge der Strecke EF.
Lösung:
Wir wissen, dass AE/EB = CF/FD (erster Strahlensatz) und dass AB/CD = AE/CF (zweiter Strahlensatz). Setzen wir die gegebenen Werte ein, erhalten wir:
AE/EB = CF/FD
AB/CD = AE/CF
AB/CD = AE/(AE/EB * FD/FD)
AB/CD = AE^2/CF * EB/FD
EB/FD = CF/AE^2 * AB/CD
EB = CF/AE^2 * AB/CD * FD
EF = AE + CF = AE + AE/EB * EB = AE * (1 + 1/EB)
EF = AE * (1 + CF/AE^2 * AB/CD * 1/FD)
Aufgabe 3:
Gegeben sind zwei Geraden AB und CD sowie eine dritte Gerade EF, die diese beiden Geraden schneidet. Die Strecken AE, EB, CF und FD sind bekannt. Berechne die Länge der Strecke EF.
Lösung:
Wir wissen, dass AE/EB = CF/FD (erster Strahlensatz) und dass AB/CD = AE/CF (zweiter Strahlensatz). Setzen wir die gegebenen Werte ein, erhalten wir:
AE/EB = CF/FD
AB/CD = AE/CF
AB/CD = AE/(AE/EB * FD/FD)
AB/CD = AE^2/CF * EB/FD
EB/FD = CF/AE^2 * AB/CD
EB = CF/AE^2 * AB/CD * FD
EF = AE + CF = AE + AE/EB * EB = AE * (1 + 1/EB)
EF = AE * (1 + CF/AE^2 * AB/CD * FD/FD)
Fazit:
Strahlensätze können kompliziert erscheinen, aber mit ein wenig Übung und Geduld kannst du jede Aufgabe lösen. Denke daran, die gegebenen Werte in die entsprechende Formel einzusetzen und die Lösung Schritt für Schritt zu berechnen. Wir hoffen, dass dir diese Strahlensätze Aufgaben Klasse 9 mit Lösungen geholfen haben, deine Fähigkeiten in der Geometrie zu verbessern.
| Strahlensätze Aufgaben Klasse 9 Mit Lösungen |
|---|
| Aufgabe 1: |
| Gegeben sind zwei parallele Geraden AB und CD und eine dritte Gerade EF, die diese beiden Geraden schneidet. Die Strecken AE, EB, CF und FD sind bekannt. Berechne die Länge der Strecke EF. |
| Lösung: |
| Wir wissen, dass AE/EB = CF/FD (erster Strahlensatz). Setzen wir die gegebenen Werte ein, erhalten wir: AE/EB = CF/FD AE/8 = 12/FD AE * FD = 8 * 12 FD = 96/AE CF = 12 * FD/8 = 12 * 96/AE * 1/8 = 12/AE * 12 EF = AE + CF = AE + 12/AE * 12 |
| Aufgabe 2: |
| Gegeben sind zwei Strecken AB und CD sowie eine Gerade EF, die diese Strecken schneidet. Die Strecken AE, EB, CF und FD sind bekannt. Berechne die Länge der Strecke EF. |
| Lösung: |
| Wir wissen, dass AE/EB = CF/FD (erster Strahlensatz) und dass AB/CD = AE/CF (zweiter Strahlensatz). Setzen wir die gegebenen Werte ein, erhalten wir: AE/EB = CF/FD AB/CD = AE/CF AB/CD = AE/(AE/EB * FD/FD) AB/CD = AE^2/CF * EB/FD EB/FD = CF/AE^2 * AB/CD EB = CF/AE^2 * AB/CD * FD EF = AE + CF = AE + AE/EB * EB = AE * (1 + 1/EB) EF = AE * (1 + CF/AE^2 * AB/CD * 1/FD) |
| Aufgabe 3: |
| Gegeben sind zwei Geraden AB und CD sowie eine dritte Gerade EF, die diese beiden Geraden schneidet. Die Strecken AE, EB, CF und FD sind bekannt. Berechne die Länge der Strecke EF. |
| Lösung: |
| Wir wissen, dass AE/EB = CF/FD (erster Strahlensatz) und dass AB/CD = AE/CF (zweiter Strahlensatz). Setzen wir die gegebenen Werte ein, erhalten wir: AE/EB = CF/FD AB/CD = AE/CF AB/CD = AE/(AE/EB * FD/FD) AB/CD = AE^2/CF * EB/FD EB/FD = CF/AE^2 * AB/CD EB = CF/AE^2 * AB/CD * FD EF = AE + CF = AE + AE/EB * EB = AE * (1 + 1/EB) EF = AE * (1 + CF/AE^2 * AB/CD * FD/FD) |