Öffnen Lösungen PDF – Trigonometrie
Definitionen
Bevor wir mit den Übungen beginnen, sollten wir uns einige wichtige Definitionen der Trigonometrie ansehen.
WinkelEin Winkel ist der Abstand zwischen zwei Strahlen, die von einem gemeinsamen Punkt ausgehen. Der Punkt, an dem sich die Strahlen treffen, wird als Scheitelpunkt bezeichnet.
SinusDer Sinus eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der Seite gegenüber dem Winkel (gegenkathete) zur Länge der Hypotenuse.
KosinusDer Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der angrenzenden Seite (Ankathete) zur Länge der Hypotenuse.
TangensDer Tangens eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der gegenüberliegenden Seite (gegenkathete) zur Länge der angrenzenden Seite (Ankathete).
Übung 1: Berechnung von Sinus, Kosinus und Tangens
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Winkel von 30° und einer Hypotenuse von 10 cm. Berechne den Sinus, Kosinus und Tangens des Winkels.
Lösung:
Der Winkel hat eine gegenüberliegende Seite von 5 cm (da wir einen 30-60-90 Grad Winkel haben, ist die gegenüberliegende Seite immer halb so lang wie die Hypotenuse).
Der Sinus von 30° ist das Verhältnis der Länge der gegenüberliegenden Seite zur Hypotenuse:
Sin(30°) = gegenkathete / hypotenuse = 5 / 10 = 0,5
Der Kosinus von 30° ist das Verhältnis der Länge der angrenzenden Seite zur Hypotenuse:
Cos(30°) = ankathete / hypotenuse = 5 / 10 = 0,5
Der Tangens von 30° ist das Verhältnis der Länge der gegenüberliegenden Seite zur angrenzenden Seite:
Tan(30°) = gegenkathete / ankathete = 5 / 5 = 1
Übung 2: Berechnung von fehlenden Seiten
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Winkel von 45° und einer gegenüberliegenden Seite von 8 cm. Berechne die Länge der Hypotenuse und der angrenzenden Seite.
Lösung:
Da wir einen 45-45-90 Grad Winkel haben, sind die beiden Katheten (angrenzenden Seiten) gleich lang.
Die gegenüberliegende Seite hat eine Länge von 8 cm.
Um die Hypotenuse zu berechnen, multiplizieren wir die Länge der gegenüberliegenden Seite mit der Wurzel aus 2:
Hypotenuse = 8 * sqrt(2) = 11,3 cm (gerundet auf eine Nachkommastelle)
Um die Länge der angrenzenden Seite zu berechnen, verwenden wir den Kosinus von 45°:
Cos(45°) = ankathete / hypotenuse
ankathete = Cos(45°) * hypotenuse
ankathete = 0,707 * 11,3 = 8 cm (gerundet auf eine Nachkommastelle)
Übung 3: Berechnung von Winkeln
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Hypotenuse von 10 cm und einer gegenüberliegenden Seite von 6 cm. Berechne die Winkel des Dreiecks.
Lösung:
Wir können den Sinus verwenden, um den Winkel gegenüber der gegenüberliegenden Seite zu berechnen:
Sin(x) = gegenkathete / hypotenuse
Sin(x) = 6 / 10
x = Sin^-1(0,6)
x = 36,9° (gerundet auf eine Nachkommastelle)
Da wir einen rechtwinkligen Winkel haben, können wir den zweiten Winkel berechnen, indem wir 90° von 36,9° subtrahieren:
90° – 36,9° = 53,1° (gerundet auf eine Nachkommastelle)
Übung 4: Anwendung der Trigonometrie
Ein 12 Meter langes Seil ist an einem Baum befestigt und hängt 8 Meter über den Boden. Wie weit ist der Fußpunkt des Seils vom Baum entfernt?
Lösung:
Wir können ein rechtwinkliges Dreieck zeichnen, bei dem der Baum der Scheitelpunkt des Winkels ist und die Hypotenuse die Länge des Seils ist.
Die gegenüberliegende Seite des Winkels ist die Entfernung vom Fußpunkt des Seils zum Baum.
Wir können den Sinus des Winkels verwenden, um die Entfernung zu berechnen:
Sin(x) = gegenkathete / hypotenuse
Sin(x) = 8 / 12
x = Sin^-1(0,67)
x = 42,3° (gerundet auf eine Nachkommastelle)
Die Entfernung vom Fußpunkt des Seils zum Baum beträgt:
Cos(x) = ankathete / hypotenuse
ankathete = Cos(42,3°) * 12
ankathete = 9,1 Meter (gerundet auf eine Nachkommastelle)
Übung 5: Herausfordernde Trigonometrieaufgabe
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Winkel von 30° und einem Umfang von 24 cm. Berechne die Längen der Seiten des Dreiecks.
Lösung:
Wir können die Länge der Hypotenuse berechnen, indem wir den Umfang des Dreiecks durch die Summe der Seitenlängen teilen:
Hypotenuse = Umfang / (1 + Sin(30°) + Cos(30°))
Hypotenuse = 24 / (1 + 0,5 + 0,87)
Hypotenuse = 8 cm
Die gegenüberliegende Seite des 30° Winkels ist halb so lang wie die Hypotenuse, also:
gegenkathete = Hypotenuse / 2
gegenkathete = 4 cm
Die Länge der angrenzenden Seite kann durch den Pythagoras berechnet werden:
Ankathete^2 = Hypotenuse^2 – Gegenkathete^2
Ankathete^2 = 8^2 – 4^2
Ankathete^2 = 48
Ankathete = sqrt(48)
Ankathete = 6,93 cm (gerundet auf zwei Nachkommastellen)
Daher sind die Längen der Seiten des Dreiecks:
Gegenkathete = 4 cm
Ankathete = 6,93 cm
Hypotenuse = 8 cm
Mit diesen Übungen und Beispielen solltest du nun in der Lage sein, Trigonometrieaufgaben der 9. Klasse zu lösen. Übung macht den Meister, also versuche, so viele Aufgaben wie möglich zu lösen, um deine Fähigkeiten zu verbessern!
In der 9. Klasse beschäftigen wir uns mit den Grundlagen der Trigonometrie. Hierbei geht es um die Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln eines rechtwinkligen Dreiecks. Um diese Beziehungen zu verstehen, müssen wir uns mit den trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens auseinandersetzen.
Was sind Sinus, Cosinus und Tangens?
Sinus, Cosinus und Tangens sind Verhältnisfunktionen, die in der Trigonometrie verwendet werden. Sie beschreiben das Verhältnis zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks und dem Winkel, der ihnen gegenüberliegt.
Sinus: Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis zwischen der gegenüberliegenden Seite und der Hypotenuse.
Cosinus: Der Cosinus eines Winkels ist das Verhältnis zwischen der anliegenden Seite und der Hypotenuse.
Tangens: Der Tangens eines Winkels ist das Verhältnis zwischen der gegenüberliegenden Seite und der anliegenden Seite.
Aufgaben und Lösungen
Um dein Verständnis für Trigonometrie zu vertiefen, haben wir einige Aufgaben für dich vorbereitet. Hier sind ein paar Beispielaufgaben, um dir den Einstieg zu erleichtern:
- Berechne den Sinus, Cosinus und Tangens des Winkels 30°.
- Berechne die Länge der Seite c in einem Dreieck mit den Winkeln 30°, 60° und 90° und der Seite a = 5cm.
- Bestimme den Winkel α in einem Dreieck mit den Seiten a = 8cm, b = 10cm und c = 12cm.
Lösungen:
- Sinus(30°) = 0,5; Cosinus(30°) = 0,87; Tangens(30°) = 0,58
- c = a * √3 = 5cm * √3 ≈ 8,66cm
- α = cos⁻¹((b²+c²-a²)/(2bc)) ≈ 36,87°
Wir hoffen, dass dir diese Aufgaben geholfen haben, die Grundlagen der Trigonometrie besser zu verstehen. Wenn du weitere Fragen hast oder Unterstützung benötigst, zögere nicht, dich an deinen Lehrer oder deine Lehrerin zu wenden.
Trigonometrie kann auf den ersten Blick etwas einschüchternd wirken, aber mit etwas Übung und Geduld wirst du schnell Fortschritte machen. Wir hoffen, dass dieser Beitrag dir dabei geholfen hat, die Grundlagen der Trigonometrie zu verstehen und dich auf den Weg zu bringen, um ein Experte in diesem Bereich zu werden.
| Vokabelliste | Bedeutung |
|---|---|
| Trigonometrie | Lehre von den Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln eines Dreiecks |
| Verhältnisfunktionen | Funktionen, die das Verhältnis zwischen den Seiten eines Dreiecks beschreiben |
| Sinus | Verhältnis zwischen der gegenüberliegenden Seite und der Hypotenuse |
| Cosinus | Verhältnis zwischen der anliegenden Seite und der Hypotenuse |
| Tangens | Verhältnis zwischen der gegenüberliegenden Seite und der anliegenden Seite |
| Hypotenuse | Längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks |