Öffnen Lösungen PDF – Zinseszins
Was ist Zinseszins?
Zinseszins bedeutet, dass die Zinsen auf ein Kapital nicht nur einmal im Jahr berechnet werden, sondern sie werden dem Kapital hinzugefügt und es wird erneut Zinsen berechnet. Das bedeutet, dass das Kapital über die Zeit exponentiell wächst.
Beispiel 1
Ein Kapital von 2000€ wird bei einem Zinssatz von 5% für 5 Jahre angelegt. Wie viel Geld hat man am Ende?
Lösung:- Im ersten Jahr: 2000€ x 5% = 100€ Zinsen
- Im zweiten Jahr: (2000€ + 100€) x 5% = 105€ Zinsen
- Im dritten Jahr: (2100€ + 105€) x 5% = 110,25€ Zinsen
- Im vierten Jahr: (2205,25€ + 110,25€) x 5% = 115,76€ Zinsen
- Im fünften Jahr: (2315,01€ + 115,76€) x 5% = 121,51€ Zinsen
Am Ende hat man also 2315,01€ + 115,76€ + 121,51€ = 2552,28€.
Beispiel 2
Wie lange dauert es, bis sich ein Kapital von 5000€ bei einem Zinssatz von 3% auf 8000€ verdoppelt?
Lösung:Man kann die Formel für den Zinseszins verwenden:
Kapital = Anfangskapital x (1 + Zinssatz)^Anzahl der Jahre
8000€ = 5000€ x (1 + 0,03)^Anzahl der Jahre
1,6 = 1,03^Anzahl der Jahre
ln(1,6) / ln(1,03) ≈ 22,58
Es dauert also ungefähr 23 Jahre, bis sich das Kapital verdoppelt hat.
Beispiel 3
Ein Kapital von 10000€ wird bei einem Zinssatz von 4% angelegt. Wie viel Geld muss man nach 10 Jahren zurückzahlen, wenn man das Kapital als Kredit aufgenommen hat?
Lösung:Man kann die Formel für den Zinseszins verwenden:
Kapital = Anfangskapital x (1 + Zinssatz)^Anzahl der Jahre
Kapital = 10000€ x (1 + 0,04)^10 ≈ 14802,04€
Man muss also insgesamt 14802,04€ zurückzahlen.
| Kapital | Zinssatz | Anzahl der Jahre | Endbetrag |
|---|---|---|---|
| 5000€ | 2% | 8 | 5720,08€ |
| 10000€ | 3% | 5 | 11592,75€ |
| 7500€ | 4% | 12 | 12350,17€ |
In der Tabelle sind weitere Beispiele für Zinseszins-Aufgaben mit Lösungen und Erklärungen gezeigt.
Was ist Zinseszins?
Zinseszins ist eine Form der Zinsberechnung, bei der der Zinsbetrag eines Kapitals nicht ausbezahlt, sondern dem Kapital hinzugefügt wird. Dadurch erhöht sich das Kapital und es fallen höhere Zinsen an.
Beispiel einer Zinseszinsaufgabe
Ein Schüler legt 1000 Euro bei einer Bank an und erhält einen Zinssatz von 3% pro Jahr. Wie hoch ist sein Kapital nach 5 Jahren, wenn die Zinsen jährlich dem Kapital hinzugefügt werden?
Zunächst müssen wir den Zinssatz in Dezimalzahl umrechnen: 3% entsprechen 0,03.
Formel zur Berechnung des Zinseszins: Endkapital = Anfangskapital x (1 + Zinssatz)^Anzahl der Jahre
Also lautet die Berechnung:
Endkapital = 1000 Euro x (1 + 0,03)^5
Endkapital = 1000 Euro x 1,159274
Endkapital = 1159,27 Euro
Das Kapital des Schülers beträgt nach 5 Jahren 1159,27 Euro.
Weitere Zinseszinsaufgaben mit Lösungen für Klasse 9
- Ein Startkapital von 5000 Euro wird über einen Zeitraum von 10 Jahren bei einem Zinssatz von 4% jährlich angelegt. Wie viel beträgt das Endkapital?
- Ein Schüler legt 2000 Euro auf ein Sparkonto mit einem Zinssatz von 2,5% an. Wie lange dauert es, bis sein Kapital auf 2500 Euro angewachsen ist?
- Ein Schüler möchte in 15 Jahren ein Endkapital von 10.000 Euro erreichen. Bei einem Zinssatz von 3,5% jährlich, wie viel muss er dafür anfangs auf sein Sparkonto einzahlen?
Endkapital = 5000 Euro x (1 + 0,04)^10 = 7409,17 Euro
Formel zur Berechnung der Zeit: Zeit = log(Endkapital/Anfangskapital) / log(1 + Zinssatz)
Also lautet die Berechnung:
Zeit = log(2500/2000) / log(1 + 0,025) = 6,87 Jahre
Es dauert also etwa 6,87 Jahre, bis das Kapital auf 2500 Euro angewachsen ist.
Formel zur Berechnung des Anfangskapitals: Anfangskapital = Endkapital / (1 + Zinssatz)^Anzahl der Jahre
Also lautet die Berechnung:
Anfangskapital = 10000 Euro / (1 + 0,035)^15 = 5726,97 Euro
Der Schüler muss also etwa 5726,97 Euro anfangs auf sein Sparkonto einzahlen, um in 15 Jahren ein Endkapital von 10.000 Euro zu erreichen.
Die Berechnung von Zinseszins ist eine wichtige Fähigkeit, die Schülerinnen und Schüler in Klasse 9 im Mathematikunterricht erlernen. Mit den oben genannten Beispielen und Lösungen können sie ihre Fähigkeiten verbessern und sich auf Prüfungen vorbereiten. Es ist wichtig, das Konzept des Zinseszinses zu verstehen, da es im täglichen Leben bei der Planung von Investitionen und Krediten eine wichtige Rolle spielt.