Öffnen Lösungen PDF – Extremal
Beispiel 1: Maximale Fläche eines Rechtecks mit vorgegebener Umfang
Gegeben sei ein Rechteck mit dem Umfang von 24cm. Wie groß kann die Fläche maximal sein?
Lösung:
Wir wissen, dass der Umfang eines Rechtecks die Summe aller Seitenlängen ist:
U = 2a + 2b
Daraus können wir eine Gleichung für eine der Seitenlängen, z.B. a, herleiten:
a = (U – 2b) / 2
Die Fläche des Rechtecks ist dann:
A = a * b = ((U – 2b) / 2) * b = (U/2) * b – b^2
Um die maximale Fläche zu finden, müssen wir die Ableitung der Flächenfunktion bilden und auf Null setzen:
A‘ = (U/2) – 2b = 0
b = U/4 = 6cm
Damit ist die maximale Fläche des Rechtecks:
A_max = (U/2) * b = 36cm^2
Beispiel 2: Minimale Oberfläche einer Dose
Gegeben ist ein Zylinder mit einem Volumen von 500ml. Wie muss die Höhe und der Radius gewählt werden, damit die Oberfläche minimal wird?
Lösung:
Das Volumen eines Zylinders ist:
V = πr^2h
Wir haben gegeben, dass das Volumen 500ml beträgt. Das können wir umrechnen in Kubikzentimeter:
V = 500ml = 500cm^3
Daraus können wir eine Gleichung für die Höhe h herleiten:
h = V / (πr^2)
Die Oberfläche eines Zylinders ist:
O = 2πr^2 + 2πrh
Wir setzen die Gleichung für h in die Gleichung für O ein:
O = 2πr^2 + 2πr(V / (πr^2)) = 2πr^2 + 2V/r
Wir bilden die Ableitung der Oberflächenfunktion und setzen sie auf Null:
O‘ = 4πr – 2V/r^2 = 0
r = (V/2π)^(1/3) ≈ 4,23cm
Damit ergibt sich für die Höhe:
h = V / (πr^2) ≈ 2,98cm
Die minimale Oberfläche der Dose beträgt dann:
O_min = 2πr^2 + 2πrh ≈ 98,3cm^2
Beispiel 3: Maximale Höhe eines Wurfs
Ein Stein wird aus einer Höhe von 10m mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 5m/s waagerecht geworfen. Wie weit fliegt der Stein und wie hoch ist der maximale Punkt des Wurfs?
Lösung:
Wir können die Flugbahn des Steins als Parabel beschreiben:
y = -½gt^2 + v0t + y0
mit g als Erdbeschleunigung (≈9,81m/s^2), v0 als Anfangsgeschwindigkeit (5m/s), y0 als Anfangshöhe (10m).
Wir wollen die maximale Höhe und die Weite des Wurfs berechnen. Die maximale Höhe erreicht der Stein, wenn die vertikale Geschwindigkeit Null ist:
0 = -gt + v0
t = v0/g ≈ 0,51s
Die maximale Höhe ist dann:
y_max = -½g(v0/g)^2 + v0(v0/g) + y0 = 10,13m
Die Weite des Wurfs ist die horizontale Strecke, die der Stein zurücklegt. Das können wir aus der Zeit berechnen, die der Stein in der Luft ist:
t_ges = 2t = 1,02s
Die Weite des Wurfs ist dann:
x = v0 * t_ges ≈ 5,1m
Der maximale Punkt des Wurfs ist also 10,13m über dem Ausgangspunkt und der Stein fliegt etwa 5,1m weit.
Als Schüler der 11. Klasse stehen viele Herausforderungen bevor, und eine davon sind definitiv auch Extremalaufgaben. Diese Aufgaben sind besonders anspruchsvoll und erfordern ein hohes Maß an Konzentration, Durchhaltevermögen und natürlich mathematisches Verständnis. Doch wie kann man sich am besten auf solche Aufgaben vorbereiten? In diesem Blogbeitrag stellen wir Ihnen einige Lösungen für Extremalaufgaben der 11. Klasse vor.
Was sind Extremalaufgaben?
Extremalaufgaben sind mathematische Probleme, bei denen es darum geht, das Maximum oder Minimum einer Funktion zu finden. Dabei können unterschiedliche mathematische Methoden zum Einsatz kommen, wie zum Beispiel Ableitungen, Integralrechnung oder auch geometrische Überlegungen.
Lösungen für Extremalaufgaben in der 11. Klasse
Um sich auf Extremalaufgaben vorzubereiten, ist es wichtig, zunächst die Grundlagen der mathematischen Methoden zu beherrschen. Hierzu empfiehlt es sich, regelmäßig Übungen zu machen und auch Aufgaben aus vergangenen Klausuren zu bearbeiten. Zudem können auch Bücher oder Online-Kurse hilfreich sein, um das eigene Wissen zu vertiefen.
Eine Möglichkeit zur Lösung von Extremalaufgaben ist die Verwendung von Ableitungen. Hierbei wird die Funktion abgeleitet und die Nullstellen der Ableitung gesucht. An diesen Stellen kann das Maximum oder Minimum der Funktion liegen.
Ein weiterer Ansatz ist die Verwendung von Integralrechnung. Hierbei wird das Integral der Funktion gebildet und die Fläche unter der Kurve ermittelt. Das Maximum oder Minimum der Funktion kann an Stellen liegen, an denen die Steigung der Kurve am größten oder kleinsten ist.
Zusammenfassung
Extremalaufgaben sind anspruchsvolle mathematische Probleme, bei denen es darum geht, das Maximum oder Minimum einer Funktion zu finden. Um sich auf solche Aufgaben vorzubereiten, ist es wichtig, die Grundlagen der mathematischen Methoden zu beherrschen und regelmäßig zu üben. Die Verwendung von Ableitungen oder Integralrechnung kann bei der Lösung von Extremalaufgaben hilfreich sein.
Beispiel-Aufgabe
Gegeben ist die Funktion f(x) = 2x³ – 3x² + 4x – 1. Bestimmen Sie das Maximum und Minimum der Funktion.
Lösung:
Zunächst leiten wir die Funktion ab: f'(x) = 6x² – 6x + 4. Um die Nullstellen der Ableitung zu finden, setzen wir f'(x) = 0 und lösen nach x auf:
- 6x² – 6x + 4 = 0
- x1 = (-(-6) + sqrt((-6)² – 4*6*4)) / (2*6) = 0,5
- x2 = (-(-6) – sqrt((-6)² – 4*6*4)) / (2*6) = 0,6667
Die Nullstellen der Ableitung liegen also bei x1 = 0,5 und x2 = 0,6667. Um das Maximum und Minimum der Funktion zu finden, setzen wir diese Werte in die ursprüngliche Funktion ein:
- f(0,5) = 1,375 (Minimum)
- f(0,6667) = 1,453 (Maximum)
Damit haben wir das Maximum und Minimum der Funktion bestimmt.
Fazit
Extremalaufgaben der 11. Klasse sind anspruchsvolle mathematische Probleme, die ein hohes Maß an Konzentration und Durchhaltevermögen erfordern. Durch regelmäßiges Üben und die Beherrschung der mathematischen Grundlagen können jedoch auch solche Aufgaben erfolgreich gelöst werden. Die Verwendung von Ableitungen oder Integralrechnung kann hierbei hilfreich sein.