Öffnen Lösungen PDF – Bruchgleichungen
Beispiel 1:
Löse folgende Bruchgleichung nach x auf:
$frac{3}{x-2} – frac{2}{x+1} = frac{5}{x-2}$
Lösung:
- Multipliziere beide Seiten mit dem Nenner $(x-2)(x+1)$, um die Brüche zu eliminieren:
- Löse die Klammer auf der linken Seite auf:
- Vereinfache die Gleichung:
$3(x+1) – 2(x-2) = 5(x+1)$
$3x + 3 – 2x + 4 = 5x + 5$
$x = -frac{1}{2}$
Beispiel 2:
Löse folgende Bruchgleichung nach x auf:
$frac{x+3}{x-2} + frac{2}{x+1} = frac{x-1}{x-2}$
Lösung:
- Multipliziere beide Seiten mit dem Nenner $(x-2)(x+1)$, um die Brüche zu eliminieren:
- Löse die Klammern auf beiden Seiten auf:
- Vereinfache die Gleichung:
- Löse die quadratische Gleichung:
$(x+3)(x+1) + 2(x-2)(x+1) = (x-1)(x+1)$
$x^2 + 4x + 3 + 2(x^2 – x – 2) = x^2 – 1$
$3x^2 + 7x – 11 = 0$
$x_1 = -frac{11}{3}$, $x_2 = frac{1}{3}$
Beispiel 3:
Löse folgende Bruchgleichung nach x auf:
$frac{1}{x-2} – frac{1}{x+1} = frac{2}{x-2}$
Lösung:
- Multipliziere beide Seiten mit dem Nenner $(x-2)(x+1)$, um die Brüche zu eliminieren:
- Löse die Klammern auf beiden Seiten auf:
- Vereinfache die Gleichung:
$(x+1) – (x-2) = 2(x+1)$
$3x – 3 = 2x + 4$
$x = 7$
Beispiel 4:
Löse folgende Bruchgleichung nach x auf:
$frac{x-2}{x+1} – frac{x+1}{x-2} = frac{6x}{x^2-1}$
Lösung:
- Multipliziere beide Seiten mit dem Nenner $(x+1)(x-2)(x^2-1)$, um die Brüche zu eliminieren:
- Löse die Klammern auf beiden Seiten auf:
- Vereinfache die Gleichung:
- Löse die kubische Gleichung:
$(x-2)(x^2-1) – (x+1)(x^2-1) = 6x(x+1)(x-2)$
$-2x^3 + 7x^2 + 4x – 3 = 6x^3 – 30x^2 – 30x$
$8x^3 – 37x^2 – 34x + 3 = 0$
$x_1 approx -0,692$, $x_2 approx 0,779$, $x_3 approx 1,041$
Hoffentlich haben dir diese Übungen geholfen, Bruchgleichungen zu lösen!
Bruchgleichungen gehören zu den anspruchsvolleren Themen in der Mathematik der 10. Klasse. Es ist wichtig, dass man die Regeln und Methoden beherrscht, um die Aufgaben erfolgreich lösen zu können. Im Folgenden werden einige Beispiele von Bruchgleichungen mit Lösungen aufgeführt:
Beispiel 1:
Lösen Sie die folgende Bruchgleichung: $frac{2}{x-1} – frac{1}{x+2} = frac{1}{x-1}$
Lösung:
- Zunächst müssen wir den gemeinsamen Nenner bestimmen: $(x-1)(x+2)$
- Daraufhin müssen wir die Gleichung mit dem gemeinsamen Nenner erweitern:
- Jetzt können wir die Gleichung vereinfachen:
$frac{2(x+2)}{(x-1)(x+2)} – frac{(x-1)}{(x-1)(x+2)} = frac{(x+2)}{(x-1)(x+2)}$
$2(x+2) – (x-1) = (x+2)$
$2x + 3 = x + 2$
$x = -1$
Damit lautet die Lösung der Bruchgleichung: $x = -1$.
Beispiel 2:
Lösen Sie die folgende Bruchgleichung: $frac{1}{x+1} + frac{1}{x-1} = frac{4}{x^2-1}$
Lösung:
- Zunächst müssen wir den gemeinsamen Nenner bestimmen: $(x+1)(x-1)$
- Daraufhin müssen wir die Gleichung mit dem gemeinsamen Nenner erweitern:
- Jetzt können wir die Gleichung vereinfachen:
$frac{(x-1) + (x+1)}{(x+1)(x-1)} = frac{4}{(x+1)(x-1)}$
$2x = 4$
$x = 2$
Damit lautet die Lösung der Bruchgleichung: $x = 2$.
Fazit:
Bruchgleichungen sind eine wichtige Mathematik-Thematik der 10. Klasse. Durch das Verständnis der Regeln und Methoden können Schülerinnen und Schüler erfolgreich Aufgaben lösen. Es ist jedoch wichtig, dass man ausreichend übt und sich Zeit nimmt, um die Aufgaben zu verstehen. Die oben genannten Beispiele können als Orientierung dienen und helfen, ein besseres Verständnis für Bruchgleichungen zu entwickeln.
Autor | Max Mustermann |
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Datum | 01.01.2022 |
Kategorie | Mathematik |