Öffnen Lösungen PDF – Sinus Cosinus Tangens
Übung 1: Berechnung des Sinus und Cosinus
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c = 10 cm, der Kathete a = 6 cm und dem Winkel alpha = 30°. Berechne den Sinus und Cosinus des Winkels alpha.
Lösung:
Der Sinus des Winkels alpha ist definiert als das Verhältnis der Gegenkathete zum Hypotenuse. Somit gilt:
sin(alpha) = a/c = 6/10 = 0.6
Der Cosinus des Winkels alpha ist definiert als das Verhältnis der Ankathete zum Hypotenuse. Somit gilt:
cos(alpha) = b/c = √(1 – sin²(alpha)) = √(1 – 0.6²) ≈ 0.8
Übung 2: Berechnung des Tangens
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c = 12 cm, der Kathete a = 5 cm und dem Winkel beta = 60°. Berechne den Tangens des Winkels beta.
Lösung:
Der Tangens des Winkels beta ist definiert als das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete. Somit gilt:
tan(beta) = a/b = 5/b
Zur Berechnung der Ankathete b nutzen wir den Satz des Pythagoras:
b² = c² – a² = 12² – 5² = 119
Daraus folgt:
b ≈ √119 ≈ 10.9 cm
Somit gilt:
tan(beta) = a/b = 5/10.9 ≈ 0.46
Übung 3: Anwendung des Sinus
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c = 8 cm und dem Winkel gamma = 45°. Berechne die Gegenkathete a.
Lösung:
Der Sinus des Winkels gamma ist definiert als das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse. Somit gilt:
sin(gamma) = a/c
Nach Umstellung ergibt sich:
a = c * sin(gamma) = 8 * sin(45°) ≈ 5.7 cm
Übung 4: Anwendung des Cosinus
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c = 15 cm und der Ankathete b = 12 cm. Berechne die Gegenkathete a.
Lösung:
Der Cosinus des Winkels alpha ist definiert als das Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse. Somit gilt:
cos(alpha) = b/c
Nach Umstellung ergibt sich:
a = √(c² – b²) = √(15² – 12²) ≈ 6.7 cm
Übung 5: Anwendung des Tangens
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c = 7 cm und der Gegenkathete a = 4 cm. Berechne die Ankathete b.
Lösung:
Der Tangens des Winkels beta ist definiert als das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete. Somit gilt:
tan(beta) = a/b
Nach Umstellung ergibt sich:
b = a/tan(beta) = 4/tan(arctan(4/7)) ≈ 5.7 cm
Übung 6: Berechnung von Winkeln
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c = 10 cm und der Gegenkathete a = 8 cm. Berechne den Winkel alpha.
Lösung:
Der Sinus des Winkels alpha ist definiert als das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse. Somit gilt:
sin(alpha) = a/c
Nach Umstellung ergibt sich:
alpha = arcsin(a/c) = arcsin(8/10) ≈ 53.1°
Somit ist der gesuchte Winkel alpha etwa 53.1°.
Zusammenfassung
Die Sinus-, Cosinus- und Tangens-Funktionen sind wichtige mathematische Werkzeuge zur Berechnung von Längen und Winkeln in rechtwinkligen Dreiecken.
Der Sinus ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse, der Cosinus das Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse und der Tangens das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete.
Um diese Verhältnisse zu berechnen, kann man die bekannten Längen und Winkel des Dreiecks nutzen und die entsprechenden Formeln anwenden.
Was sind Sinus, Cosinus und Tangens?
Die trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens werden in der Mathematik und Physik verwendet, um die Beziehung zwischen den Seiten und Winkeln eines Dreiecks zu beschreiben.
Der Sinus (sin) eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der gegenüberliegenden Seite zu der Länge der Hypotenuse des Dreiecks.
Der Cosinus (cos) eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der anliegenden Seite zu der Länge der Hypotenuse des Dreiecks.
Der Tangens (tan) eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der gegenüberliegenden Seite zu der Länge der anliegenden Seite des Dreiecks.
Sinus Cosinus Tangens Aufgaben Klasse 10 Mit Lösungen
Im Folgenden werden wir einige Beispiele für Sinus, Cosinus und Tangens Aufgaben für Schülerinnen und Schüler der 10. Klasse mit Lösungen präsentieren:
Beispiel 1:
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Hypotenuse von 5 cm und einem Winkel von 30 Grad. Berechne die Länge der gegenüberliegenden und anliegenden Seiten sowie den Sinus, Cosinus und Tangens des Winkels.
Lösung:
Die Länge der anliegenden Seite kann mit dem Cosinus berechnet werden:
cos(30) = a/5
a = 4,33 cm
Die Länge der gegenüberliegenden Seite kann mit dem Sinus berechnet werden:
sin(30) = b/5
b = 2,5 cm
Der Tangens des Winkels ist das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur anliegenden Seite:
tan(30) = b/a
tan(30) = 0,58
Beispiel 2:
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Hypotenuse von 10 cm und einem Winkel von 45 Grad. Berechne die Länge der gegenüberliegenden und anliegenden Seiten sowie den Sinus, Cosinus und Tangens des Winkels.
Lösung:
Die Länge der anliegenden Seite kann mit dem Cosinus berechnet werden:
cos(45) = a/10
a = 7,07 cm
Die Länge der gegenüberliegenden Seite kann mit dem Sinus berechnet werden:
sin(45) = b/10
b = 7,07 cm
Der Tangens des Winkels ist das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur anliegenden Seite:
tan(45) = b/a
tan(45) = 1
Beispiel 3:
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Hypotenuse von 8 cm und einem Winkel von 60 Grad. Berechne die Länge der gegenüberliegenden und anliegenden Seiten sowie den Sinus, Cosinus und Tangens des Winkels.
Lösung:
Die Länge der anliegenden Seite kann mit dem Cosinus berechnet werden:
cos(60) = a/8
a = 4 cm
Die Länge der gegenüberliegenden Seite kann mit dem Sinus berechnet werden:
sin(60) = b/8
b = 6,93 cm
Der Tangens des Winkels ist das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur anliegenden Seite:
tan(60) = b/a
tan(60) = 1,73
Zusammenfassung
Sinus, Cosinus und Tangens sind wichtige trigonometrische Funktionen, die in der Mathematik und Physik verwendet werden, um die Beziehung zwischen den Seiten und Winkeln eines Dreiecks zu beschreiben. Schülerinnen und Schüler der 10. Klasse sollten in der Lage sein, einfache Sinus, Cosinus und Tangens Aufgaben zu lösen und die Ergebnisse zu interpretieren.