Öffnen Lösungen PDF – Trigonometrie Gymnasium
Aufgabe 1
Berechne den Sinus, Kosinus und Tangens von Winkel α = 45°.
Lösung:
- Sinus α = 0,707
- Kosinus α = 0,707
- Tangens α = 1
Aufgabe 2
Ein Dreieck hat einen Winkel α = 30° und einen Winkel β = 60°. Wie groß ist der dritte Winkel γ?
Lösung:
- Winkel γ = 90°
Aufgabe 3
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c = 10 cm und einem Winkel α = 40°. Wie lang sind die Katheten a und b?
Lösung:
- Kathete a = 6,43 cm
- Kathete b = 7,66 cm
Aufgabe 4
Ein Flugzeug fliegt in einer Höhe von 10000 m. Ein Beobachter am Boden misst den Winkel α zwischen Flugzeug und Horizont. Wie weit ist das Flugzeug vom Beobachter entfernt?
Lösung:
- Entfernung zum Flugzeug = 114,59 km
Aufgabe 5
In einem gleichschenkligen Dreieck mit den Schenkellängen a = b = 6 cm ist der Winkel α zwischen den Schenkeln 45°. Wie lang ist die Basis c?
Lösung:
- Basis c = 8,49 cm
Aufgabe 6
Ein Baum wirft einen Schatten von 10 m. Zur gleichen Zeit misst der Baum 20 m. Wie hoch ist der Baum?
Lösung:
- Höhe des Baums = 14,14 m
Aufgabe 7
Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a = 8 cm. Wie groß sind die Innenwinkel?
Lösung:
- Innenwinkel α = 60°
- Innenwinkel β = 60°
- Innenwinkel γ = 60°
Aufgabe 8
Ein Turm ist 50 m hoch. Aus einer Entfernung von 100 m misst man den Winkel α zwischen Turmspitze und Boden. Wie groß ist α?
Lösung:
- Winkel α = 30,96°
Aufgabe 9
Ein Rechteck hat die Seitenlängen a = 6 cm und b = 8 cm. Wie groß ist der Winkel α zwischen den Diagonalen?
Lösung:
- Winkel α = 53,13°
Aufgabe 10
Ein Segelschiff legt bei einer Windstärke von 20 km/h einen Kurs von 120° ab. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Schiffes?
Lösung:
- Geschwindigkeit des Schiffes = 10 km/h
Trigonometrie ist ein wichtiger Bestandteil des Mathematikunterrichts in der 10. Klasse am Gymnasium. Hierbei geht es um die Berechnungen von Winkeln, Seiten und Flächen in Dreiecken. In diesem Blogbeitrag möchten wir Ihnen einige Trigonometrie Aufgaben und Lösungen für die 10. Klasse am Gymnasium vorstellen.
Grundlagen der Trigonometrie
Zunächst möchten wir Ihnen die Grundlagen der Trigonometrie erläutern. Dabei geht es um die Berechnung von Sinus, Cosinus und Tangens anhand von Winkeln in einem Dreieck. Die Formeln hierfür lauten:
- Sinus: Gegenkathete / Hypotenuse
- Cosinus: Ankathete / Hypotenuse
- Tangens: Gegenkathete / Ankathete
Um diese Formeln anwenden zu können, müssen Sie die Winkel und Seiten des Dreiecks kennen. Hierfür gibt es verschiedene Aufgabenstellungen, die wir Ihnen im Folgenden vorstellen werden.
Aufgabenstellungen und Lösungen
Aufgabe 1:
Berechnen Sie den Sinus, Cosinus und Tangens des Winkels alpha in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a = 6 cm und b = 8 cm.
Lösung:
Zunächst berechnen wir die Hypotenuse des Dreiecks mit dem Satz des Pythagoras:
h² = a² + b²
h² = 6² + 8²
h² = 36 + 64
h² = 100
h = 10 cm
Nun können wir die Formeln für Sinus, Cosinus und Tangens anwenden:
Sinus(alpha) = gegenkathete / hypotenuse = 6 / 10 = 0,6
Cosinus(alpha) = ankathete / hypotenuse = 8 / 10 = 0,8
Tangens(alpha) = gegenkathete / ankathete = 6 / 8 = 0,75
Aufgabe 2:
Berechnen Sie die Länge der Seite c in einem Dreieck mit den Winkeln alpha = 30°, beta = 60° und der Seite a = 6 cm.
Lösung:
Wir können den Satz des Sinus anwenden:
sin(alpha) / a = sin(beta) / c
sin(30°) / 6 = sin(60°) / c
0,5 / 6 = √3 / c
c = 6 √3 / 0,5
c = 12 √3 cm
Aufgabe 3:
Berechnen Sie den Flächeninhalt eines Dreiecks mit den Seiten a = 5 cm, b = 8 cm und dem Winkel gamma = 45°.
Lösung:
Wir können den Satz des Cosinus anwenden, um die Seite c zu berechnen:
c² = a² + b² – 2ab cos(gamma)
c² = 5² + 8² – 2 · 5 · 8 · cos(45°)
c² = 25 + 64 – 80 · 0,707
c² = 25 + 64 – 56,56
c² = 32,44
c = 5,69 cm
Nun können wir den Flächeninhalt mit der Formel A = 1/2 · a · b · sin(gamma) berechnen:
A = 1/2 · 5 · 8 · sin(45°)
A = 20 · 0,707
A = 14,14 cm²
Zusammenfassung
Trigonometrie ist ein wichtiger Bestandteil des Mathematikunterrichts in der 10. Klasse am Gymnasium. Mit den Formeln für Sinus, Cosinus und Tangens können Winkel, Seiten und Flächen in Dreiecken berechnet werden. In diesem Blogbeitrag haben wir Ihnen einige Aufgabenstellungen und Lösungen vorgestellt, um Ihnen bei der Vorbereitung auf die Trigonometrie-Prüfung zu helfen.
| Aufgabe | Lösung |
|---|---|
| Aufgabe 1 | Sinus(alpha) = 0,6, Cosinus(alpha) = 0,8, Tangens(alpha) = 0,75 |
| Aufgabe 2 | c = 12 √3 cm |
| Aufgabe 3 | A = 14,14 cm² |
Wir hoffen, dass Ihnen dieser Blogbeitrag weiterhelfen konnte und wünschen Ihnen viel Erfolg bei der Trigonometrie-Prüfung in der 10. Klasse am Gymnasium.