Öffnen Lösungen PDF – Satz Des Pythagoras Hauptschule
Was ist der Satz des Pythagoras?
Der Satz des Pythagoras ist eine mathematische Formel, die besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist.
Formel: a² + b² = c²
Die Katheten sind die beiden kurzen Seiten des Dreiecks und die Hypotenuse ist die längste Seite gegenüber vom rechten Winkel.
Beispiel-Aufgabe:
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a = 3 cm und b = 4 cm. Berechne die Länge der Hypotenuse c.
- Schritt: Formel anwenden
- Schritt: Werte einsetzen
- Schritt: Rechnen
- Schritt: Wurzel ziehen
c² = a² + b²
c² = 3² + 4²
c² = 9 + 16
c² = 25
c = √25
c = 5
Die Länge der Hypotenuse beträgt 5 cm.
Weitere Beispiele:
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a = 5 cm und b = 12 cm. Berechne die Länge der Hypotenuse c.
- Schritt: Formel anwenden
- Schritt: Werte einsetzen
- Schritt: Rechnen
- Schritt: Wurzel ziehen
c² = a² + b²
c² = 5² + 12²
c² = 25 + 144
c² = 169
c = √169
c = 13
Die Länge der Hypotenuse beträgt 13 cm.
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a = 8 cm und b = 15 cm. Berechne die Länge der Hypotenuse c.
- Schritt: Formel anwenden
- Schritt: Werte einsetzen
- Schritt: Rechnen
- Schritt: Wurzel ziehen
c² = a² + b²
c² = 8² + 15²
c² = 64 + 225
c² = 289
c = √289
c = 17
Die Länge der Hypotenuse beträgt 17 cm.
Übungsaufgaben:
1. Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a = 6 cm und b = 8 cm. Berechne die Länge der Hypotenuse c.
2. Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a = 9 cm und b = 12 cm. Berechne die Länge der Hypotenuse c.
3. Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a = 7 cm und b = 24 cm. Berechne die Länge der Hypotenuse c.
Lösungen:
1. c = 10 cm
2. c = 15 cm
3. c = 25 cm
| Aufgabe | Lösung |
|---|---|
| 1. a = 6 cm, b = 8 cm | c = 10 cm |
| 2. a = 9 cm, b = 12 cm | c = 15 cm |
| 3. a = 7 cm, b = 24 cm | c = 25 cm |
Der Satz des Pythagoras ist ein wichtiger Bestandteil des Mathematikunterrichts in der 9. Klasse der Hauptschule. Im Folgenden möchten wir Ihnen einige Aufgaben und Lösungen zum Satz des Pythagoras präsentieren.
Was ist der Satz des Pythagoras?
Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über der Hypotenuse (der längsten Seite) gleich der Summe der Quadrate über den Katheten (den beiden kürzeren Seiten) ist.
Aufgaben zum Satz des Pythagoras
- Berechne die Länge der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Kathetenlängen 3cm und 4cm.
- Ein Leiter steht an einer Wand und reicht bis zur Dachrinne, die 5m über dem Boden liegt. Die Leiter ist 6m lang. Wie weit steht sie von der Wand entfernt?
- Ein Segelflugzeug fliegt in einer Höhe von 1000m über dem Boden. Es fliegt direkt auf einen Berg zu, der 1500m hoch ist. Wie weit muss das Flugzeug vom Berg entfernt sein, um ihn zu umfliegen?
Lösungen zu den Aufgaben
Aufgabe 1:
Die Hypotenuse lässt sich mit der Formel c = √(a² + b²) berechnen. Für a = 3cm und b = 4cm ergibt sich:
c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5cm
Aufgabe 2:
Die Entfernung x der Leiter von der Wand lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Für a = x und b = 5m ergibt sich:
6² = x² + 5²
36 = x² + 25
x² = 11
x = √11 ≈ 3,32m
Aufgabe 3:
Die Entfernung x des Flugzeugs vom Berg lässt sich ebenfalls mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Für a = x und b = 1500m ergibt sich:
c² = x² + 1500²
c = √(x² + 1500²)
Da das Flugzeug den Berg umfliegen soll, muss es den Abstand 1000m zur Erde beibehalten. Somit ergibt sich:
c² = x² + 1500² – 1000²
c = √(x² + 2500000)
Das Flugzeug muss den Berg um mindestens 500m Abstand umfliegen. Somit ergibt sich:
c = √(x² + 2500000) ≥ 2000m
x² + 2500000 ≥ 4000000
x² ≥ 1500000
x ≥ √1500000 ≈ 1224,74m
Wir hoffen, dass Ihnen diese Aufgaben und Lösungen zum Satz des Pythagoras weiterhelfen.
Wenn Sie noch weitere Fragen haben oder Unterstützung im Mathematikunterricht benötigen, zögern Sie nicht, uns zu kontaktieren.