Öffnen Lösungen PDF – Kurvendiskussion
1. Bestimme die Ableitungen der folgenden Funktionen:
a) f(x) = 3x² – 4x + 1
f'(x) = 6x – 4
b) g(x) = 5x³ + 2x² – 6x + 9
g'(x) = 15x² + 4x – 6
c) h(x) = (x² – 1)⁴
h'(x) = 4(x² – 1)³ * 2x
2. Untersuche die Funktion f(x) = x³ – 6x² + 9x
a) Bestimme die Nullstellen:
f(x) = x(x² – 6x + 9) = x(x – 3)²
Nullstellen: 0, 3
b) Bestimme die Extremstellen und Wendepunkte:
f'(x) = 3x² – 12x + 9 = 3(x – 1)(x – 3)
Extremstellen: x = 1, x = 3
f“(x) = 6x – 12
Wendepunkt: (2, 1)
c) Bestimme das Verhalten im Unendlichen:
lim f(x) = +∞ für x → ±∞
d) Skizziere den Graphen:
3. Untersuche die Funktion g(x) = x⁴ – 4x³ + 4x²
a) Bestimme die Nullstellen:
g(x) = x²(x – 2)²
Nullstellen: 0, 2
b) Bestimme die Extremstellen und Wendepunkte:
g'(x) = 4x³ – 12x² + 8x = 4x(x – 2)(x – 1)
Extremstellen: x = 0, x = 1, x = 2
g“(x) = 12x² – 24x + 8 = 4(3x² – 6x + 2)
Wendepunkt: (1, -1)
c) Bestimme das Verhalten im Unendlichen:
lim g(x) = +∞ für x → ±∞
d) Skizziere den Graphen:
In der Klasse 11 beschäftigen sich Schülerinnen und Schüler oft mit der Kurvendiskussion. Dabei geht es darum, eine Funktion auf ihre Eigenschaften zu untersuchen, wie zum Beispiel Extrem- und Wendepunkte, Monotonie und Krümmungsverhalten.
Beispiel-Aufgabe:
Gegeben ist die Funktion f(x) = x³ – 3x² – 9x + 5. Untersuche die Funktion auf ihre Eigenschaften.
Lösung:
Zunächst berechnen wir die Ableitungen:
f'(x) = 3x² – 6x – 9
f“(x) = 6x – 6
Um die Extrem- und Wendepunkte zu finden, setzen wir die Ableitungen gleich null:
f'(x) = 0 ⇔ x₁ = -1, x₂ = 3
f“(x) = 0 ⇔ x = 1
Daraus ergibt sich:
- Die Funktion hat bei x = -1 ein lokales Maximum und bei x = 3 ein lokales Minimum.
- Die Funktion hat bei x = 1 eine Wendestelle.
Um die Monotonie und das Krümmungsverhalten zu bestimmen, betrachten wir die Vorzeichen der Ableitungen:
| x | f'(x) | f“(x) |
|---|---|---|
| x < -1 | – | + |
| -1 < x < 1 | – | – |
| 1 < x < 3 | + | – |
| x > 3 | + | + |
Daraus folgt:
- Die Funktion ist auf (-∞, -1) monoton fallend, auf (-1, 1) monoton steigend, auf (1, 3) monoton fallend und auf (3, ∞) monoton steigend.
- Die Funktion hat bei x = -1 und x = 3 einen Wendepunkt.
Das war eine Beispiel-Aufgabe zur Kurvendiskussion in der Klasse 11. Mit den genannten Schritten und Methoden können Schülerinnen und Schüler auch andere Funktionen untersuchen.
Ich hoffe, dieser Beitrag hat dir geholfen, dich besser auf deine Kurvendiskussion-Aufgaben vorzubereiten. Wenn du weitere Fragen hast, zögere nicht, dich an deinen Mathe-Lehrer oder deine Mathe-Lehrerin zu wenden.