Öffnen Lösungen PDF – Parabeln
Übung 1: Scheitelpunktform
Gegeben ist die Parabel f(x) = (x-3)² + 2. Bestimme den Scheitelpunkt S und die Achsensymmetrie.
Lösung:
Zunächst müssen wir die Scheitelpunktform der Parabel f(x) bestimmen:
f(x) = a(x – h)² + k
Dabei ist (h, k) der Scheitelpunkt und a der Koeffizient, der die Öffnungsrichtung bestimmt.
In unserem Fall ist a = 1, h = 3 und k = 2. Also haben wir:
f(x) = (x – 3)² + 2
Um den Scheitelpunkt zu bestimmen, setzen wir x = h und erhalten:
f(3) = (3 – 3)² + 2 = 2
Also ist der Scheitelpunkt S(3, 2).
Die Achsensymmetrie ist die Senkrechte durch den Scheitelpunkt. In unserem Fall ist das die Gerade x = 3.
Übung 2: Normalform
Gegeben ist die Parabel f(x) = x² – 4x + 3. Bestimme den Scheitelpunkt S und die Achsensymmetrie.
Lösung:
Um den Scheitelpunkt und die Achsensymmetrie zu bestimmen, müssen wir die Normalform der Parabel f(x) bestimmen:
f(x) = ax² + bx + c
Dabei ist der Scheitelpunkt S(-b/2a, c – b²/4a) und die Achsensymmetrie die Senkrechte durch den Scheitelpunkt.
In unserem Fall ist a = 1, b = -4 und c = 3. Also haben wir:
f(x) = x² – 4x + 3
Den Scheitelpunkt S bekommen wir durch:
S = (-b/2a, c – b²/4a) = (2, -1)
Die Achsensymmetrie ist die Senkrechte durch den Scheitelpunkt. In unserem Fall ist das die Gerade x = 2.
Übung 3: Nullstellen
Gegeben ist die Parabel f(x) = x² + 2x – 3. Bestimme die Nullstellen.
Lösung:
Um die Nullstellen der Parabel f(x) zu bestimmen, setzen wir f(x) = 0 und lösen nach x auf:
x² + 2x – 3 = 0
Wir können diese quadratische Gleichung durch Anwenden der quadratischen Ergänzung lösen:
x² + 2x + 1 – 1 – 3 = 0
(x + 1)² – 4 = 0
(x + 1)² = 4
x + 1 = ±2
x₁ = -3 und x₂ = 1
Also hat die Parabel f(x) die Nullstellen -3 und 1.
Übung 4: Schnittpunkte mit der y-Achse
Gegeben ist die Parabel f(x) = -x² + 4x – 5. Bestimme den Schnittpunkt mit der y-Achse.
Lösung:
Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu bestimmen, setzen wir x = 0 in die Gleichung der Parabel ein:
f(0) = -0² + 4·0 – 5 = -5
Also hat die Parabel f(x) den Schnittpunkt mit der y-Achse bei (0, -5).
Übung 5: Scheitelpunkt und Nullstellen
Gegeben ist die Parabel f(x) = -2x² + 4x + 6. Bestimme den Scheitelpunkt S und die Nullstellen.
Lösung:
Um den Scheitelpunkt und die Nullstellen zu bestimmen, können wir entweder die Normalform oder die Scheitelpunktform der Parabel verwenden. Wir verwenden hier die Normalform:
f(x) = -2x² + 4x + 6
Den Scheitelpunkt S bekommen wir durch:
S = (-b/2a, c – b²/4a) = (1, 8)
Die Nullstellen bekommen wir, indem wir f(x) = 0 setzen und nach x auflösen:
-2x² + 4x + 6 = 0
-x² + 2x + 3 = 0
(-x + 3)(x + 1) = 0
x₁ = 3 und x₂ = -1
Also hat die Parabel f(x) die Nullstellen 3 und -1.
Übung 6: Parabel im Koordinatensystem
Gegeben ist die Parabel f(x) = x² – 6x + 8. Zeichne die Parabel in ein Koordinatensystem und bestimme den Scheitelpunkt, die Achsensymmetrie und die Nullstellen.
Lösung:
Zunächst bestimmen wir den Scheitelpunkt und die Achsensymmetrie:
f(x) = x² – 6x + 8
f(x) = (x – 3)² – 1
Scheitelpunkt: S(3, -1)
Achsensymmetrie: x = 3
Jetzt können wir die Parabel in ein Koordinatensystem einzeichnen:
| -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
| -1 | * | |||||||
| 0 | * | * | * | |||||
| 1 | * | * | * | |||||
| 2 | * | * | * | |||||
| 3 | * | * | * | |||||
| 4 | * | * | * |
Die Nullstellen sind:
f(x) = (x – 3)² – 1
(x – 3)² – 1 = 0
(x – 3)² = 1
x – 3 = ±1
x₁ = 2 und x₂ = 4
Also hat die Parabel f(x) die Nullstellen 2 und 4.
Parabeln gehören zum Thema der quadratischen Funktionen und werden in der 10. Klasse eingeführt. Sie spielen eine wichtige Rolle in der Mathematik und sind auch in anderen Naturwissenschaften wie der Physik von Bedeutung.
Was sind Parabeln?
Eine Parabel ist eine Kurve, die durch eine quadratische Funktion beschrieben wird. Sie hat eine charakteristische Form mit einem Scheitelpunkt und einer Achse, die die Parabel in zwei symmetrische Hälften teilt.
Beispiel
Die Funktion f(x) = x^2 beschreibt eine Parabel mit dem Scheitelpunkt (0,0) und der Achse y = 0. Die Parabel öffnet nach oben und hat keine Nullstellen.
Aufgaben zur Parabeln in der 10. Klasse
- Bestimme den Scheitelpunkt und die Nullstellen der Parabel f(x) = x^2 – 4x + 3.
- Zeichne die Parabel f(x) = -2(x-2)^2 + 5 in ein Koordinatensystem.
- Welche Gleichung beschreibt eine Parabel, die nach unten öffnet und den Scheitelpunkt (3,-2) hat?
Lösungen
- Der Scheitelpunkt ist (2,-1) und die Nullstellen sind 1 und 3.
- Die Parabel öffnet nach unten und hat den Scheitelpunkt (2,5).
- Die Gleichung lautet f(x) = -1/4(x-3)^2 – 2.
| Vorteile der Beschäftigung mit Parabeln | Nachteile der Beschäftigung mit Parabeln |
|---|---|
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Insgesamt sind Parabeln ein wichtiger Bestandteil der Mathematik und haben auch in anderen Wissenschaften eine große Bedeutung. Durch das Lösen von Aufgaben können Schülerinnen und Schüler ihr Verständnis für Parabeln vertiefen und wichtige Fähigkeiten im Umgang mit quadratischen Funktionen erwerben.