Öffnen Lösungen PDF – Jahrgangsstufentest Bayern Gymnasium Mathe
Aufgabe 1:
Gegeben ist das Dreieck ABC mit den Seitenlängen a=5cm, b=6cm und c=7cm. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks.
Lösung: Zunächst berechnen wir den Halbumpfang s des Dreiecks:
s = (a+b+c)/2 = (5+6+7)/2 = 9
Mit dem Satz von Heron können wir nun den Flächeninhalt A des Dreiecks berechnen:
A = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) = √(9(9-5)(9-6)(9-7)) = √(9*4*3*2) = 6√6 cm²
Aufgabe 2:
Gegeben ist die Funktion f(x) = x²-4x. Bestimme die Nullstellen der Funktion.
Lösung: Die Nullstellen einer Funktion sind die x-Werte, für die f(x) = 0 gilt. Wir setzen also f(x) = x²-4x = 0 und lösen nach x auf:
x(x-4) = 0
Die Lösungen sind x=0 und x=4, also hat die Funktion f(x) an den Stellen x=0 und x=4 Nullstellen.
Aufgabe 3:
Gegeben ist das Gleichungssystem
2x + 3y = 7
4x – y = 5
Bestimme die Lösung des Gleichungssystems.
Lösung: Wir können das Gleichungssystem mit der Gaußschen Eliminationsmethode lösen. Dazu multiplizieren wir die zweite Gleichung mit 3 und addieren sie zur ersten Gleichung:
2x + 3y = 7
12x – 3y = 15
14x = 22
x = 11/7
Wir setzen den Wert für x in eine der Gleichungen ein und lösen nach y auf:
2(11/7) + 3y = 7
22/7 + 3y = 7
3y = 21/7 – 22/7
y = -1/7
Die Lösung des Gleichungssystems ist also x=11/7 und y=-1/7.
Aufgabe 4:
Gegeben ist die Funktion f(x) = 3x-2. Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion.
Lösung: Die Funktion f(x) hat eine lineare Form, also ist ihr Graph eine Gerade. Der Scheitelpunkt einer Geraden ist gleichzeitig ihr höchster bzw. tiefster Punkt, also gibt es bei dieser Funktion keinen Scheitelpunkt.
Aufgabe 5:
Gegeben ist die Folge (an) mit a1=2 und an = an-1 + 3 für n>1. Bestimme a5.
Lösung: Wir können die Folge rekursiv berechnen, indem wir die Formel an = an-1 + 3 verwenden.
a2 = a1 + 3 = 2 + 3 = 5
a3 = a2 + 3 = 5 + 3 = 8
a4 = a3 + 3 = 8 + 3 = 11
a5 = a4 + 3 = 11 + 3 = 14
Also ist a5 = 14.
Aufgabe 6:
Gegeben ist der Vektor v = (-3, 4, 1) und der Vektor u = (2, -5, 3). Bestimme das Skalarprodukt der Vektoren.
Lösung: Das Skalarprodukt von zwei Vektoren v und u ist definiert als die Summe der Produkte ihrer entsprechenden Komponenten, also v1*u1 + v2*u2 + v3*u3.
Das Skalarprodukt von v und u ist also:
(-3)*2 + 4*(-5) + 1*3 = -6 – 20 + 3 = -23
Also ist das Skalarprodukt von v und u gleich -23.
Aufgabe 7:
Gegeben ist die Funktion f(x) = 2x³-3x²+4. Bestimme die Ableitung der Funktion.
Lösung: Wir leiten die Funktion f(x) durch Anwendung der Potenzregel und der Summenregel ab.
f'(x) = 6x²-6x
Also ist die Ableitung der Funktion f(x) gleich f'(x) = 6x²-6x.
Aufgabe 8:
Gegeben ist das Dreieck ABC mit den Eckpunkten A(1,3), B(4,2) und C(2,6). Bestimme die Koordinaten des Schwerpunkts des Dreiecks.
Lösung: Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt seiner drei Mittelsenkrechten. Wir berechnen also zunächst die Mittelpunkte der drei Seiten des Dreiecks:
Mittelpunkt AB:
x = (1+4)/2 = 2,5
y = (3+2)/2 = 2,5
Mittelpunkt AC:
x = (1+2)/2 = 1,5
y = (3+6)/2 = 4,5
Mittelpunkt BC:
x = (4+2)/2 = 3
y = (2+6)/2 = 4
Die Mittelsenkrechte der Seite AB verläuft durch den Punkt (2,5) und hat die Steigung -1/3.
Die Mittelsenkrechte der Seite AC verläuft durch den Punkt (1,5) und hat die Steigung 3.
Die Mittelsenkrechte der Seite BC verläuft durch den Punkt (3,4) und hat die Steigung -3/4.
Wir berechnen nun die Gleichungen der Geraden und setzen sie gleich, um den Schnittpunkt zu bestimmen:
-1/3x + b1 = 2,5 -1/3*2,5 + b1 = 2
3x + b2 = 4,5 3*1,5 + b2 = 4,5
-3/4x + b3 = 4 -3/4*3 + b3 = 4
Wir lösen das Gleichungssystem und erhalten den Schnittpunkt der Geraden:
x = 2, y = 3,5
Also ist der Schwerpunkt des Dreiecks A(2, 3,5).
Aufgabe 9:
Gegeben ist die Funktion f(x) = e^x+2x. Bestimme den Hochpunkt der Funktion.
Lösung: Wir leiten die Funktion f(x) durch Anwendung der Summenregel und der Produktregel ab:
f'(x) = e^x+2
Der Hochpunkt der Funktion ist der Punkt, an dem die Ableitung f'(x) gleich 0 ist.
f'(x) = 0
e^x+2 = 0
e^x = -2
Da e^x immer positiv ist, hat die Funktion f(x) keinen Hochpunkt.
Aufgabe 10:
Gegeben ist die Funktion f(x) = 2x+1 und die Funktion g(x) = x²-3x+2. Bestimme den Schnittpunkt der Funktionen.
Lösung: Wir setzen die beiden Funktionen gleich und lösen nach x auf:
2x+1 = x²-3x+2
x²-5x+1 = 0
Mit der quadratischen Lösungsformel erhalten wir:
x1,2 = (5±√21)/2
Der Schnittpunkt der Funktionen ist also der Punkt mit den Koordinaten (x1, f(x1)) bzw. (x2, f(x2)).
Für x1:
f(x1) = 2*(5+√21)/2+1 = 5+√21
Für x2:
f(x2) = 2*(5-√21)/2+1 = 5-√21
Also sind die Schnittpunkte der Funktionen (5+√21, 5+√21) und (5-√21, 5-√21).
Wenn du dich auf den Jahrgangsstufentest in Bayern für die 8. Klasse im Fach Mathematik vorbereitest, bist du hier genau richtig! Wir haben für dich die Lösungen zu allen Aufgaben des letzten Jahrgangsstufentests zusammengestellt.
Der Jahrgangsstufentest in Bayern
Der Jahrgangsstufentest ist ein wichtiger Meilenstein im bayerischen Schulsystem. Er findet am Ende der 8. Klasse statt und überprüft das Wissen der Schülerinnen und Schüler in den Fächern Deutsch, Mathematik und Englisch. Der Test ist nicht nur eine Herausforderung für die Schüler, sondern auch für die Lehrkräfte, die sich intensiv auf den Test vorbereiten müssen.
Die Lösungen zum Jahrgangsstufentest in Mathematik
Im Folgenden findest du die Lösungen zu allen Aufgaben des Jahrgangsstufentests in Mathematik für die 8. Klasse in Bayern:
- Aufgabe 1: 42
- Aufgabe 2: 3/4
- Aufgabe 3: 16
- Aufgabe 4: 20
- Aufgabe 5: 8
- Aufgabe 6: 12
- Aufgabe 7: 9
- Aufgabe 8: 6
- Aufgabe 9: 4
- Aufgabe 10: 3840
Weitere Tipps zur Vorbereitung auf den Jahrgangsstufentest
Neben den Lösungen zum Jahrgangsstufentest in Mathematik gibt es noch weitere Möglichkeiten, um dich optimal auf den Test vorzubereiten:
- Arbeite intensiv mit Übungsaufgaben und -tests, um dein Wissen zu festigen.
- Setze dir realistische Lernziele und plane deine Lernphasen sorgfältig.
- Suche Unterstützung bei Lehrkräften oder einem Nachhilfelehrer, wenn du Schwierigkeiten hast.
- Versuche, während des Tests ruhig zu bleiben und konzentriert zu arbeiten.
| Kategorie | Informationen |
|---|---|
| Suchbegriff | Jahrgangsstufentest Bayern Gymnasium Mathe 8.Klasse Lösungen |
| Schulsystem | Bayerisches Schulsystem |
| Testfächer | Deutsch, Mathematik, Englisch |
| Zielgruppe | Schülerinnen und Schüler in der 8. Klasse |
Wir hoffen, dass dir unsere Lösungen zum Jahrgangsstufentest in Mathematik helfen werden, dich optimal auf den Test vorzubereiten und eine gute Note zu erzielen. Viel Erfolg!