Öffnen Lösungen PDF – Cornelsen Mathematik
Übung 1: Lineare Gleichungssysteme lösen
Gegeben ist das Gleichungssystem:
x + y = 5
2x – y = 1
Löse das Gleichungssystem durch Einsetzungsverfahren.
- Wähle eine Gleichung aus und löse sie nach einer Variablen auf.
- Setze den Ausdruck für die Variable in die andere Gleichung ein und löse sie nach der anderen Variablen auf.
- Setze den gefundenen Wert für eine Variable in eine der Gleichungen ein und berechne den Wert der anderen Variable.
Lösung 1:
Schritt 1:
x + y = 5 | -x
y = 5 – x
Schritt 2:
2x – y = 1
2x – (5 – x) = 1 | +x
3x – 5 = 1 | +5
3x = 6 | :3
x = 2
Schritt 3:
y = 5 – x
y = 5 – 2
y = 3
Die Lösung des Gleichungssystems ist x = 2 und y = 3.
Übung 2: Ableitungen berechnen
Gegeben ist die Funktion:
f(x) = 2x³ – 5x² + 3x + 2
Berechne die Ableitung der Funktion.
- Bilde die Ableitungsfunktion durch Anwenden der Ableitungsregeln.
Lösung 2:
Die Ableitung der Funktion lautet:
f'(x) = 6x² – 10x + 3
Zur Berechnung der Ableitung wurden die folgenden Ableitungsregeln angewendet:
- Die Ableitung einer Konstanten ist 0.
- Die Ableitung einer Potenzfunktion lautet: f'(x) = n * x^(n-1)
- Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.
Übung 3: Integral berechnen
Berechne das Integral:
∫(3x² + 4x – 2)dx
- Wende die Integrationsregeln an.
Lösung 3:
Das Integral lautet:
∫(3x² + 4x – 2)dx = x³ + 2x² – 2x + C
Zur Berechnung des Integrals wurden die folgenden Integrationsregeln angewendet:
- Die Integrationsregel für die Potenzfunktion lautet: ∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C
- Die Integrationsregel für die Summe lautet: ∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
Die Integrationskonstante C kann beliebig gewählt werden.
Übung 4: Vektoren berechnen
Gegeben sind die Vektoren:
a = (3, 1, -2)
b = (-2, 4, 1)
Berechne das Skalarprodukt und das Vektorprodukt der beiden Vektoren.
- Berechne das Skalarprodukt durch Anwenden der Formel.
- Berechne das Vektorprodukt durch Anwenden der Formel.
Lösung 4:
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren lautet:
a · b = (3 * -2) + (1 * 4) + (-2 * 1) = -6 + 4 – 2 = -4
Das Vektorprodukt der beiden Vektoren lautet:
a x b = (-2 * -2 – 1 * 1), (-2 * 3 – 1 * -2), (3 * 4 – 1 * -2) = (3, -8, 14)
Zur Berechnung des Skalarprodukts und des Vektorprodukts wurden die folgenden Formeln angewendet:
- Das Skalarprodukt von zwei Vektoren a und b lautet: a · b = |a| * |b| * cos(α)
- Das Vektorprodukt von zwei Vektoren a und b lautet: a x b = (a2b3 – a3b2, a3b1 – a1b3, a1b2 – a2b1)
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