Öffnen Lösungen PDF – Extremwert
Übung 1: Maximale Fläche eines Rechtecks
Gegeben ist ein Stück Draht mit der Länge 20 cm. Aus diesem Draht soll ein Rechteck gebogen werden. Welche Maße muss das Rechteck haben, um die maximale Fläche zu haben?
Um diese Frage zu beantworten, müssen wir zuerst eine Formel für die Fläche eines Rechtecks aufstellen:
A = Länge x Breite
Wir wissen, dass die Länge und Breite des Rechtecks aus dem gegebenen Drahtstück gebogen werden müssen, d.h.:
Länge + Breite = 20 cm
Wir können nun die Länge ausdrücken als:
Länge = 20 cm – Breite
Und diese in die Formel für die Fläche einsetzen:
A = (20 cm – Breite) x Breite
Um die maximale Fläche zu finden, müssen wir die Ableitung der Flächenformel bilden und diese auf Null setzen:
A‘ = -2 Breite + 20 cm = 0
Breite = 10 cm
Das bedeutet, dass die Länge ebenfalls 10 cm beträgt, da Länge + Breite = 20 cm. Das Rechteck mit den Maßen 10 cm x 10 cm hat also die maximale Fläche von 100 cm².
Übung 2: Minimale Oberfläche einer Dose
Gegeben ist ein Zylinder mit einem Volumen von 1 Liter. Wie muss der Zylinder gestaltet sein, um eine minimale Oberfläche zu haben?
Die Formel für das Volumen eines Zylinders ist:
V = π r² h
Da das Volumen des gegebenen Zylinders 1 Liter beträgt, können wir dies in Kubikzentimeter umrechnen:
V = 1000 cm³
Wir können nun die Höhe des Zylinders ausdrücken als:
h = V / (π r²)
Die Formel für die Oberfläche eines Zylinders ist:
O = 2π r² + 2π r h
Wir können die Höhe in die Formel für die Oberfläche einsetzen:
O = 2π r² + 2π r (V / (π r²))
O = 2π r² + 2V / r
Um die minimale Oberfläche zu finden, müssen wir die Ableitung der Oberflächenformel bilden und diese auf Null setzen:
O‘ = 4π r – 2V / r² = 0
r³ = 500 / π
r ≈ 5,6 cm
Das bedeutet, dass die Höhe des Zylinders ungefähr 31,8 cm beträgt. Der minimale Oberflächenzylinder hat also einen Radius von 5,6 cm und eine Höhe von 31,8 cm.
Übung 3: Maximale Entfernung eines Bootes vom Ufer
Ein Boot startet am Ufer eines Sees und fährt mit einer Geschwindigkeit von 10 km/h in eine Richtung, die einen Winkel von 60° zum Ufer hat. Wie weit kann das Boot maximal vom Ufer entfernt sein?
Wir können die maximale Entfernung des Bootes vom Ufer mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen. Dazu müssen wir zuerst die Entfernung des Bootes vom Ufer in Abhängigkeit von der Zeit t berechnen:
d(t) = 10 km/h x t x sin(60°) = 5t km
Die Entfernung des Bootes vom Ufer ist also proportional zur Zeit t. Um die maximale Entfernung zu finden, müssen wir die Ableitung der Entfernungsformel bilden und diese auf Null setzen:
d'(t) = 5 km/h = 0
Das bedeutet, dass die Entfernung des Bootes vom Ufer nach 1 Stunde (60 Minuten) maximal ist:
d(t) = 5 km/h x 1 h = 5 km
Das Boot kann also maximal 5 km vom Ufer entfernt sein.
Übung 4: Maximales Volumen eines Kegels
Ein Kegel soll aus einem Kreis mit dem Radius 10 cm ausgeschnitten werden. Wie groß muss der Winkel α des Kreisausschnitts sein, damit das Volumen des Kegels maximal wird?
Die Formel für das Volumen eines Kegels ist:
V = 1/3 π r² h
Wir können die Höhe des Kegels ausdrücken als:
h = r tan(α)
Die Fläche des Kreisausschnitts ist:
A = 1/2 r² α
Wir können nun das Volumen des Kegels in Abhängigkeit von α ausdrücken:
V(α) = 1/3 π r² (r tan(α)) = 1/3 π r³ tan(α)
Um das maximale Volumen zu finden, müssen wir die Ableitung der Volumenformel bilden und diese auf Null setzen:
V'(α) = 1/3 π r³ sec²(α) = 0
sec²(α) = 0
Dies ist jedoch nicht möglich, da sec²(α) immer größer oder gleich Null ist. Das bedeutet, dass es kein Maximum für das Volumen des Kegels gibt. Das Volumen des Kegels ist am größten, wenn der Kreisausschnitt ein Vollkreis ist.
Übung 5: Minimale Entfernung zwischen zwei Punkten
Zwei Punkte A und B liegen auf einem Kreis mit dem Radius 10 cm. Wie groß ist die minimale Entfernung zwischen den beiden Punkten?
Die Entfernung zwischen den Punkten A und B auf dem Kreis ist gleich dem Kreisbogen zwischen den Punkten. Der Kreisbogen wird durch den Winkel α definiert, der vom Mittelpunkt des Kreises ausgespannt wird. Die Formel für die Länge des Kreisbogens ist:
S = r α
Wir können nun die Entfernung zwischen den beiden Punkten in Abhängigkeit von α ausdrücken:
d(α) = 2r sin(α/2)
Um die minimale Entfernung zu finden, müssen wir die Ableitung der Entfernungsformel bilden und diese auf Null setzen:
d'(α) = r cos(α/2) = 0
α = π
Dies bedeutet, dass die beiden Punkte gegenüberliegen und die Entfernung zwischen ihnen maximal ist. Um die minimale Entfernung zu finden, müssen wir die Entfernungsformel für einen Winkel von α = π/2 auswerten:
d(π/2) = 2r sin(π/4) = 2r / √2 = r√2 ≈ 14,1 cm
Die minimale Entfernung zwischen den beiden Punkten beträgt also ungefähr 14,1 cm.
Übung 6: Minimale Oberfläche einer Box
Ein Stück Pappe mit den Maßen 60 cm x 80 cm soll zu einer offenen Box gefaltet werden, indem an den Ecken gleich große Quadrate ausgeschnitten werden. Wie groß müssen die Quadrate sein, damit die Oberfläche der Box minimal wird?
Wir können die Oberfläche der Box ausdrücken als:
O = 2xy + 4xz
wobei x, y und z die Länge, Breite und Höhe der Box sind. Da die Box aus einem 60 cm x 80 cm großen Stück Pappe gefaltet werden soll, müssen wir die Bedingung aufstellen:
xy = 4800 cm²
Wir können nun die Höhe der Box ausdrücken als:
z = (4800 cm² / x) – 2x
Wir können die Oberfläche der Box in Abhängigkeit von x ausdrücken:
O(x) = 2xy + 4x((4800 cm² / x) – 2x)
O(x) = 9600 cm² / x + 19200 cm – 8x²
Um die minimale Oberfläche zu finden, müssen wir die Ableitung der Oberflächenformel bilden und diese auf Null setzen:
O'(x) = -9600 cm² / x² – 16x = 0
x³ = 600 cm²
x ≈ 8,66 cm
Das bedeutet, dass die Länge der auszuschneidenden Quadrate ungefähr 8,66 cm beträgt. Wir können die Breite und Höhe der Box aus der Bedingung xy = 4800 cm² berechnen:
y = 4800 cm² / x ≈ 554,26 cm
z ≈ 16,36 cm
Die minimale Oberflächenbox hat also eine Länge von ungefähr 8,66 cm, eine Breite von ungefähr 554,26 cm und eine Höhe von ungefähr 16,36 cm.
In der Mathematik der Klasse 12 beschäftigen sich Schülerinnen und Schüler unter anderem mit Extremwertaufgaben. Diese Art von Aufgaben fordert die Schülerinnen und Schüler dazu auf, das Maximum oder Minimum einer gegebenen Funktion zu finden. Oftmals geht es dabei um realitätsnahe Probleme, wie zum Beispiel die Maximierung des Gewinns eines Unternehmens oder die Minimierung der Kosten für einen Bau.
Was sind Extremwertaufgaben?
Extremwertaufgaben sind eine besondere Art von Optimierungsaufgaben. Dabei sucht man nach dem größtmöglichen oder kleinstmöglichen Wert einer Funktion. Diese Werte werden auch als Extremstellen bezeichnet. In der Regel geht es dabei um einen bestimmten Bereich, innerhalb dessen man die Funktion optimieren möchte.
Wie löst man Extremwertaufgaben?
Um Extremwertaufgaben zu lösen, gibt es verschiedene Methoden. Eine Möglichkeit ist die Ableitung der Funktion. Hierbei sucht man nach den Stellen, an denen die Ableitung der Funktion gleich Null ist. Diese Stellen werden auch als kritische Punkte bezeichnet. An diesen Punkten kann man das Vorzeichen der Ableitung bestimmen und somit entscheiden, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt.
Ein Beispiel für eine Extremwertaufgabe wäre:
Gegeben sei die Funktion f(x) = x^3 – 3x^2 + 4.
- Bestimme die Ableitung f'(x).
- Löse die Gleichung f'(x) = 0 und bestimme die kritischen Punkte.
- Untersuche das Vorzeichen der Ableitung an den kritischen Punkten.
- Entscheide, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt.
Mit dieser Methode können Schülerinnen und Schüler Extremwertaufgaben der Klasse 12 lösen und somit ihr Verständnis für die Mathematik vertiefen.
| Vorteile von Extremwertaufgaben | Nachteile von Extremwertaufgaben |
|---|---|
| – Verbindung von Mathematik und Realität | – Komplexe Funktionen können schwierig zu lösen sein |
| – Förderung der Problemlösungskompetenz | – Schwierigkeiten bei der Interpretation der Ergebnisse |
| – Erweiterung des mathematischen Wissens | – Hoher Zeitaufwand bei der Lösung |
Alles in allem sind Extremwertaufgaben eine wichtige und spannende Herausforderung in der Mathematik der Klasse 12. Mit einem guten Verständnis und der richtigen Methode können Schülerinnen und Schüler diese Art von Aufgaben erfolgreich meistern.