Öffnen Lösungen PDF – Zählprinzip Gymnasium
Beispiel 1: Zählen von Möglichkeiten
Ein Schüler hat 5 verschiedene T-Shirts und 3 verschiedene Hosen in seinem Schrank. Wie viele verschiedene Möglichkeiten hat er, ein Outfit auszuwählen?
Lösung:
Um die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, müssen wir die Anzahl der Möglichkeiten multiplizieren, wie viele T-Shirts der Schüler auswählen kann, mit der Anzahl der Möglichkeiten, wie viele Hosen er auswählen kann.
Anzahl der Möglichkeiten = Anzahl der T-Shirts x Anzahl der Hosen
Anzahl der Möglichkeiten = 5 x 3
Anzahl der Möglichkeiten = 15
Also hat der Schüler 15 verschiedene Möglichkeiten, ein Outfit auszuwählen.
Beispiel 2: Zählen von Kombinationen
Eine Klasse hat 10 Schülerinnen und 8 Schüler. Der Lehrer möchte eine Gruppe von 4 Schülerinnen und 3 Schülern auswählen, um an einem Projekt zu arbeiten. Wie viele verschiedene Gruppen können ausgewählt werden?
Lösung:
Um die Anzahl der möglichen Gruppen zu berechnen, müssen wir die Anzahl der Kombinationen von 4 Schülerinnen aus 10 und 3 Schülern aus 8 berechnen und sie multiplizieren.
Anzahl der Schülerinnen-Kombinationen = C(10,4) = 210
Anzahl der Schüler-Kombinationen = C(8,3) = 56
Anzahl der Gruppen = Anzahl der Schülerinnen-Kombinationen x Anzahl der Schüler-Kombinationen
Anzahl der Gruppen = 210 x 56
Anzahl der Gruppen = 11.760
Also können aus der Klasse insgesamt 11.760 verschiedene Gruppen ausgewählt werden.
Beispiel 3: Zählen von Permutationen
Eine Schülerin hat 6 verschiedene Bücher in ihrem Regal. Sie möchte 3 Bücher auswählen und in einer bestimmten Reihenfolge lesen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten hat sie, die Bücher in dieser Reihenfolge zu lesen?
Lösung:
Um die Anzahl der möglichen Reihenfolgen zu berechnen, müssen wir die Anzahl der Permutationen von 3 Büchern aus 6 berechnen.
Anzahl der Permutationen = P(6,3) = 120
Also hat die Schülerin 120 verschiedene Möglichkeiten, die 3 ausgewählten Bücher in einer bestimmten Reihenfolge zu lesen.
Beispiel 4: Zählen von Möglichkeiten mit Bedingungen
Eine Schülerin hat 5 verschiedene Oberteile und 4 verschiedene Hosen in ihrem Schrank. Sie möchte ein Outfit auswählen, bei dem das Oberteil und die Hose nicht dieselbe Farbe haben. Wie viele verschiedene Möglichkeiten hat sie, ein solches Outfit auszuwählen?
Lösung:
Um die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, müssen wir die Anzahl der Möglichkeiten subtrahieren, bei denen das Oberteil und die Hose dieselbe Farbe haben, von der Anzahl der Gesamtmöglichkeiten.
Anzahl der Gesamtmöglichkeiten = Anzahl der Oberteile x Anzahl der Hosen
Anzahl der Gesamtmöglichkeiten = 5 x 4
Anzahl der Gesamtmöglichkeiten = 20
Anzahl der Möglichkeiten mit gleichfarbigem Oberteil und Hose = Anzahl der Oberteile
Anzahl der Möglichkeiten mit gleichfarbigem Oberteil und Hose = 5
Anzahl der Möglichkeiten mit unterschiedlichfarbigem Oberteil und Hose = Anzahl der Gesamtmöglichkeiten – Anzahl der Möglichkeiten mit gleichfarbigem Oberteil und Hose
Anzahl der Möglichkeiten mit unterschiedlichfarbigem Oberteil und Hose = 20 – 5
Anzahl der Möglichkeiten mit unterschiedlichfarbigem Oberteil und Hose = 15
Also hat die Schülerin 15 verschiedene Möglichkeiten, ein Outfit auszuwählen, bei dem das Oberteil und die Hose nicht dieselbe Farbe haben.
Beispiel 5: Zählen von Möglichkeiten mit Wiederholungen
Eine Schülerin möchte eine 4-stellige PIN für ihr Handy erstellen. Jede Ziffer kann zwischen 0 und 9 liegen und kann auch mehrmals vorkommen. Wie viele verschiedene PINs kann sie erstellen?
Lösung:
Da jede Ziffer zwischen 0 und 9 liegen und auch mehrmals vorkommen kann, haben wir insgesamt 10 Möglichkeiten für jede der 4 Stellen.
Anzahl der Möglichkeiten = 10 x 10 x 10 x 10
Anzahl der Möglichkeiten = 10.000
Also kann die Schülerin 10.000 verschiedene PINs für ihr Handy erstellen.
In der 5. Klasse am Gymnasium geht es um das Zählprinzip. Hier lernst du, wie du die Anzahl der Möglichkeiten berechnen kannst, wie z.B. die Anzahl der verschiedenen Farben, die du für ein T-Shirt wählen kannst.
Was ist das Zählprinzip?
Das Zählprinzip ist eine mathematische Methode, mit der du die Anzahl der Möglichkeiten berechnen kannst. Es gibt zwei Arten des Zählprinzips: das Produktprinzip und das Summenprinzip.
Das Produktprinzip
Das Produktprinzip besagt, dass wenn eine Aufgabe aus mehreren Schritten besteht, die Anzahl der Möglichkeiten für jeden Schritt multipliziert werden muss. Zum Beispiel, wenn du ein T-Shirt mit 3 verschiedenen Farben kaufen möchtest und es gibt 4 Farben zur Auswahl, dann kannst du das Produktprinzip anwenden. Es gibt 4 Möglichkeiten für die erste Farbe, 4 für die zweite und 4 für die dritte. Insgesamt gibt es also 4 x 4 x 4 = 64 Möglichkeiten für dein T-Shirt.
Das Summenprinzip
Das Summenprinzip besagt, dass wenn eine Aufgabe auf verschiedene Arten erledigt werden kann, die Anzahl der Möglichkeiten addiert werden muss. Zum Beispiel, wenn du ein T-Shirt mit 3 verschiedenen Farben kaufen möchtest und es gibt 4 Farben zur Auswahl, aber du möchtest nur 2 Farben wählen, dann kannst du das Summenprinzip anwenden. Es gibt 4 Möglichkeiten für die erste Farbe und 3 Möglichkeiten für die zweite. Insgesamt gibt es also 4 + 3 = 7 Möglichkeiten für dein T-Shirt.
Übungen zum Zählprinzip mit Lösungen
Hier sind ein paar Übungen zum Zählprinzip für die 5. Klasse Gymnasium:
- Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn du ein Sandwich mit 3 verschiedenen Zutaten machen möchtest und es gibt 5 Zutaten zur Auswahl? Lösung: 5 x 5 x 5 = 125 Möglichkeiten
- Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn du ein T-Shirt mit 2 verschiedenen Farben kaufen möchtest und es gibt 6 Farben zur Auswahl? Lösung: 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21 Möglichkeiten
- Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn du ein Auto mit 3 verschiedenen Farben und 2 verschiedenen Modellen kaufen möchtest und es gibt 4 Farben und 3 Modelle zur Auswahl? Lösung: 4 x 4 x 4 x 3 x 3 x 3 = 3,888 Möglichkeiten
Mit dem Zählprinzip kannst du die Anzahl der Möglichkeiten berechnen und somit auch Wahrscheinlichkeiten bestimmen. Es ist eine wichtige Methode in der Mathematik und wird auch in der Informatik und Statistik angewendet.
| Vorteile des Zählprinzips | Nachteile des Zählprinzips |
|---|---|
| Leicht anwendbar | Kann bei komplexen Aufgaben unübersichtlich werden |
| Praktisch in vielen Bereichen | Kann bei zu vielen Möglichkeiten unpraktisch werden |
| Berechnet exakte Ergebnisse | Benötigt klare Vorgaben und Annahmen |
Mit diesen Übungen und Lösungen bist du nun gut gerüstet für das Zählprinzip in der 5. Klasse am Gymnasium. Viel Erfolg beim Üben!