Öffnen Lösungen PDF – Kombinatorik
Permutation
Permutation bedeutet, dass wir die Anzahl der Möglichkeiten berechnen, in der eine bestimmte Anzahl von Objekten angeordnet werden kann. Wir verwenden die Formel n!/(n-r)!, wobei n die Anzahl der Objekte und r die Anzahl der Plätze ist, auf die sie verteilt werden sollen.
Beispiel:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, 5 Bücher in einer Reihe zu stellen?
Lösung:n = 5, r = 5
5!/(5-5)! = 5! = 120 Möglichkeiten
Kombination
Kombination bedeutet, dass wir die Anzahl der Möglichkeiten berechnen, in der eine bestimmte Anzahl von Objekten aus einer größeren Gruppe ausgewählt werden kann. Wir verwenden die Formel n!/(r!(n-r)!), wobei n die Anzahl der Objekte und r die Anzahl der ausgewählten Objekte ist.
Beispiel:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 Schüler aus einer Klasse mit 25 Schülern auszuwählen?
Lösung:n = 25, r = 3
25!/(3!(25-3)!) = 25!/3!22! = 2300 Möglichkeiten
Binomialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Objekte aus einer Gruppe von n Objekten auszuwählen. Wir verwenden die Formel n!/(k!(n-k)!).
Beispiel:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, 2 Karten aus einem Deck von 52 Karten auszuwählen?
Lösung:n = 52, k = 2
52!/(2!(52-2)!) = 1326 Möglichkeiten
Permutation mit Wiederholung
Permutation mit Wiederholung bedeutet, dass wir die Anzahl der Möglichkeiten berechnen, in der Objekte identisch sind und wir sie trotzdem anordnen müssen. Wir verwenden die Formel n^r, wobei n die Anzahl der Objekte und r die Anzahl der Plätze ist, auf die sie verteilt werden sollen.
Beispiel:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Buchstaben A, B und C in einer Reihe anzuordnen?
Lösung:n = 3, r = 3
3^3 = 27 Möglichkeiten
Kombination mit Wiederholung
Kombination mit Wiederholung bedeutet, dass wir die Anzahl der Möglichkeiten berechnen, in der Objekte identisch sind und wir sie trotzdem aus einer größeren Gruppe auswählen müssen. Wir verwenden die Formel (n+r-1)!/(r!(n-1)!), wobei n die Anzahl der Objekte und r die Anzahl der ausgewählten Objekte ist.
Beispiel:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 Kugeln aus einer Gruppe von 5 identischen Kugeln auszuwählen?
Lösung:n = 5, r = 3
(5+3-1)!/(3!(5-1)!) = 35 Möglichkeiten
Tabellenübung
| Art der Kombinatorik | Formel | Beispiel | Lösung |
|---|---|---|---|
| Permutation | n!/(n-r)! | Wie viele Möglichkeiten gibt es, 4 Bücher in einer Reihe zu stellen? | 4!/(4-4)! = 24 Möglichkeiten |
| Kombination | n!/(r!(n-r)!) | Wie viele Möglichkeiten gibt es, 2 Schüler aus einer Klasse mit 20 Schülern auszuwählen? | 20!/(2!(20-2)!) = 190 Möglichkeiten |
| Binomialkoeffizient | n!/(k!(n-k)!) | Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 Karten aus einem Deck von 52 Karten auszuwählen? | 52!/(3!(52-3)!) = 22100 Möglichkeiten |
| Permutation mit Wiederholung | n^r | Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Buchstaben A, B und C in einer Reihe anzuordnen? | 3^3 = 27 Möglichkeiten |
| Kombination mit Wiederholung | (n+r-1)!/(r!(n-1)!) | Wie viele Möglichkeiten gibt es, 2 Kugeln aus einer Gruppe von 4 identischen Kugeln auszuwählen? | (4+2-1)!/(2!(4-1)!) = 15 Möglichkeiten |
Die Kombinatorik ist ein Teilbereich der Mathematik, der sich mit der Anzahl möglicher Kombinationen und Permutationen beschäftigt. In der 8. Klasse werden Schülerinnen und Schüler in diesem Bereich oft vor Herausforderungen gestellt. Um euch zu helfen, haben wir hier einige Kombinatorik Aufgaben mit Lösungen für die 8. Klasse zusammengestellt.
Aufgabe 1:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus einem Kartenspiel mit 52 Karten eine Hand von 5 Karten zu ziehen?
Lösung: Um die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, müssen wir die Kombination aus 52 Elementen (Karten) mit einer Stichprobe von 5 Elementen bilden. Dies lässt sich mit der Formel n über k berechnen:
52 über 5 = 52! / (5! * (52 – 5)!) = 2.598.960
Es gibt also 2.598.960 Möglichkeiten, eine Hand von 5 Karten aus einem Kartenspiel mit 52 Karten zu ziehen.
Aufgabe 2:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus den Buchstaben des Wortes „MATHE“ ein 3-Buchstaben-Wort zu bilden?
Lösung: Um die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, müssen wir die Permutation aus 5 Elementen (Buchstaben) mit einer Stichprobe von 3 Elementen bilden. Dies lässt sich mit der Formel n! / (n-k)! berechnen:
5! / (5-3)! = 60
Es gibt also 60 Möglichkeiten, aus den Buchstaben des Wortes „MATHE“ ein 3-Buchstaben-Wort zu bilden.
Aufgabe 3:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus den Ziffern 1, 2, 3, 4 und 5 eine Zahl mit 3 Ziffern zu bilden?
Lösung: Um die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, müssen wir die Permutation aus 5 Elementen (Ziffern) mit einer Stichprobe von 3 Elementen bilden. Dies lässt sich mit der Formel n! / (n-k)! berechnen:
5! / (5-3)! = 60
Es gibt also 60 Möglichkeiten, aus den Ziffern 1, 2, 3, 4 und 5 eine Zahl mit 3 Ziffern zu bilden.
Aufgabe 4:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 Bücher auf 3 Regale zu verteilen, wenn jedes Regal mindestens ein Buch enthalten soll?
Lösung: Wir können diese Aufgabe mit der Inklusions-Exklusions-Formel lösen. Die Anzahl der Möglichkeiten, die Bücher auf die Regale zu verteilen, beträgt 3^6. Allerdings müssen wir die Fälle abziehen, in denen eines oder zwei Regale leer bleiben.
Wenn ein Regal leer bleibt, gibt es 3 Möglichkeiten, das leere Regal auszuwählen und 2^6 Möglichkeiten, die verbleibenden Bücher auf die anderen Regale zu verteilen. Insgesamt gibt es also 3 * 2^6 Möglichkeiten.
Wenn zwei Regale leer bleiben, gibt es 3 Möglichkeiten, die leeren Regale auszuwählen und 1 Möglichkeit, die Bücher auf das verbleibende Regal zu verteilen. Insgesamt gibt es also 3 * 1 Möglichkeiten.
Die Anzahl der Möglichkeiten, die Bücher auf die Regale zu verteilen, wenn jedes Regal mindestens ein Buch enthalten soll, beträgt also: 3^6 – 3 * 2^6 + 3 * 1 = 369
Aufgabe 5:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 eine Zahl mit 4 Ziffern zu bilden, die durch 2 teilbar ist?
Lösung: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist. Es gibt 5 gerade Ziffern: 0, 2, 4, 6 und 8.
Um die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, müssen wir die Permutation aus 10 Elementen (Ziffern) mit einer Stichprobe von 4 Elementen bilden, wobei die letzte Ziffer eine der 5 geraden Ziffern sein muss.
Es gibt 5 Möglichkeiten für die letzte Ziffer und 9 Möglichkeiten für die ersten drei Ziffern (alle außer der ausgewählten geraden Ziffer). Also gibt es insgesamt 5 * 9^3 Möglichkeiten, eine 4-stellige Zahl zu bilden, die durch 2 teilbar ist.
Das waren einige Kombinatorik Aufgaben mit Lösungen für die 8. Klasse. Wir hoffen, dass wir euch damit weiterhelfen konnten!
- Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus einem Kartenspiel mit 52 Karten eine Hand von 5 Karten zu ziehen?
- Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus den Buchstaben des Wortes „MATHE“ ein 3-Buchstaben-Wort zu bilden?
- Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus den Ziffern 1, 2, 3, 4 und 5 eine Zahl mit 3 Ziffern zu bilden?
- Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 Bücher auf 3 Regale zu verteilen, wenn jedes Regal mindestens ein Buch enthalten soll?
- Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 eine Zahl mit 4 Ziffern zu bilden, die durch 2 teilbar ist?
Wir hoffen, dass ihr mit diesen Aufgaben eure Kombinatorik-Fähigkeiten verbessern konntet!