Öffnen Lösungen PDF – Kongruenzsätze
Was sind Kongruenzsätze?
Kongruenzsätze sind geometrische Sätze, die besagen, dass zwei Figuren kongruent sind, wenn bestimmte Bedingungen erfüllt sind. Kongruenz bedeutet Gleichheit in Größe und Form.
Kongruenzsatz SSS
Der Kongruenzsatz SSS besagt, dass zwei Dreiecke kongruent sind, wenn alle Seiten des einen Dreiecks in Länge und Reihenfolge den entsprechenden Seiten des anderen Dreiecks entsprechen.
Beispiel:
Gegeben sind zwei Dreiecke mit den Seitenlängen a = 6 cm, b = 8 cm und c = 10 cm. Sind die Dreiecke kongruent?
Lösung: Ja, die Dreiecke sind kongruent, da sie die Bedingungen des Kongruenzsatzes SSS erfüllen. Das heißt, alle Seitenlängen des einen Dreiecks stimmen mit den entsprechenden Seitenlängen des anderen Dreiecks überein.
Kongruenzsatz SWS
Der Kongruenzsatz SWS besagt, dass zwei Dreiecke kongruent sind, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel des einen Dreiecks in Länge und Maß den entsprechenden Seiten und Winkel des anderen Dreiecks entsprechen.
Beispiel:
Gegeben sind zwei Dreiecke mit den Seitenlängen a = 5 cm, b = 7 cm und dem Winkel α = 60°. Sind die Dreiecke kongruent?
Lösung: Ja, die Dreiecke sind kongruent, da sie die Bedingungen des Kongruenzsatzes SWS erfüllen. Das heißt, zwei Seitenlängen und der eingeschlossene Winkel des einen Dreiecks stimmen mit den entsprechenden Seitenlängen und dem Winkel des anderen Dreiecks überein.
Kongruenzsatz WSW
Der Kongruenzsatz WSW besagt, dass zwei Dreiecke kongruent sind, wenn ein Seitenwinkel, die ihm anliegende Seite und der Winkel an der anderen Seite des einen Dreiecks in Maß und Länge den entsprechenden Teilen des anderen Dreiecks entsprechen.
Beispiel:
Gegeben sind zwei Dreiecke mit dem Winkel α = 60°, der Seitenlänge b = 7 cm und dem Winkel β = 30°. Sind die Dreiecke kongruent?
Lösung: Ja, die Dreiecke sind kongruent, da sie die Bedingungen des Kongruenzsatzes WSW erfüllen. Das heißt, ein Seitenwinkel, die ihm anliegende Seite und der Winkel an der anderen Seite des einen Dreiecks stimmen mit den entsprechenden Teilen des anderen Dreiecks überein.
Übung 1:
Zeige mithilfe des Kongruenzsatzes SWS, dass das Dreieck ABC mit den Seitenlängen a = 5 cm, b = 6 cm und c = 7 cm kongruent zu dem Dreieck DEF mit den Seitenlängen d = 5 cm, e = 6 cm und f = 7 cm ist.
Lösung: Wir müssen zeigen, dass zwei Seitenlängen und der eingeschlossene Winkel des Dreiecks ABC mit den entsprechenden Teilen des Dreiecks DEF übereinstimmen.
- Die Seitenlängen a und d stimmen überein.
- Die Seitenlängen b und e stimmen überein.
- Der eingeschlossene Winkel γ des Dreiecks ABC ist gleich dem eingeschlossenen Winkel ζ des Dreiecks DEF.
Übung 2:
Zeige mithilfe des Kongruenzsatzes WSW, dass das Dreieck GHI mit dem Winkel γ = 60°, der Seitenlänge h = 4 cm und dem Winkel δ = 45° kongruent zu dem Dreieck JKL mit dem Winkel φ = 60°, der Seitenlänge k = 4 cm und dem Winkel λ = 45° ist.
Lösung: Wir müssen zeigen, dass ein Seitenwinkel, die ihm anliegende Seite und der Winkel an der anderen Seite des Dreiecks GHI mit den entsprechenden Teilen des Dreiecks JKL übereinstimmen.
- Der Winkel γ und der Winkel φ stimmen überein.
- Die Seitenlänge h und die Seitenlänge k stimmen überein.
- Der Winkel δ des Dreiecks GHI ist gleich dem Winkel λ des Dreiecks JKL.
Übung 3:
Zeige mithilfe des Kongruenzsatzes SSS, dass das Dreieck MNO mit den Seitenlängen m = 3 cm, n = 4 cm und o = 5 cm kongruent zu dem Dreieck PQR mit den Seitenlängen p = 3 cm, q = 4 cm und r = 5 cm ist.
Lösung: Wir müssen zeigen, dass alle Seitenlängen des Dreiecks MNO mit den entsprechenden Seitenlängen des Dreiecks PQR übereinstimmen.
- Die Seitenlängen m und p stimmen überein.
- Die Seitenlängen n und q stimmen überein.
- Die Seitenlängen o und r stimmen überein.
Wenn du in der 6. Klasse bist und Mathematikunterricht hast, dann hast du sicher schon etwas von Kongruenzsätzen gehört. Aber was genau sind Kongruenzsätze und wie löst man damit Aufgaben? Hier erfährst du alles, was du wissen musst!
Was sind Kongruenzsätze?
Kongruenzsätze sind Regeln in der Geometrie, mit denen man zeigen kann, dass zwei oder mehrere Figuren deckungsgleich sind. Das bedeutet, dass sie exakt die gleiche Größe und Form haben. Es gibt drei Kongruenzsätze:
- SSS-Satz: Wenn in zwei Dreiecken alle Seitenlängen gleich sind, dann sind die Dreiecke deckungsgleich.
- SWS-Satz: Wenn in zwei Dreiecken eine Seite und die beiden anliegenden Winkel gleich sind, dann sind die Dreiecke deckungsgleich.
- WWS-Satz: Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen gleich sind, dann sind die Dreiecke deckungsgleich.
Aufgaben mit Kongruenzsätzen lösen
Um Aufgaben mit Kongruenzsätzen zu lösen, musst du zuerst die gegebenen Informationen in eine Zeichnung umsetzen. Dann überprüfst du, welche Kongruenzsätze du anwenden kannst. Wenn du zum Beispiel die Längen zweier Seiten und den Winkel zwischen ihnen kennst, dann kannst du den WWS-Satz anwenden.
Hier ist ein Beispiel:
| Dreieck 1 | Dreieck 2 |
|---|---|
| Gegeben: AB = 4cm AC = 6cm ∠BAC = 90° | Gegeben: DE = 4cm DF = 6cm ∠EDF = 90° |
 |  |
In diesem Beispiel sind die Seiten AB und DE sowie die Seiten AC und DF gleich lang. Außerdem ist der Winkel ∠BAC gleich dem Winkel ∠EDF. Das bedeutet, dass man den WWS-Satz anwenden kann. Beide Dreiecke sind deckungsgleich.
Lösungen für weitere Aufgaben
Wenn du weitere Aufgaben mit Kongruenzsätzen lösen möchtest, dann findest du hier einige Beispiele:
- Dreieck ABC hat die Seitenlängen 5cm, 6cm und 7cm. Zeige, dass es kein deckungsgleiches Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen gibt.
- Dreieck ABC hat den rechten Winkel bei C. Die Seiten AB und AC haben die Längen 3cm und 4cm. Wie lang ist die Seite BC?
- Dreieck ABC ist gleichschenklig mit den Schenkeln AB und AC. Zeige, dass der Winkel ∠BAC gleich 60° ist, wenn die Basis BC die Länge 6cm hat.
Jetzt bist du bestens vorbereitet, um Aufgaben mit Kongruenzsätzen in der 6. Klasse zu lösen. Viel Erfolg!