Öffnen Lösungen PDF – Satz Des Pythagoras
1. Aufgabe: Berechne die fehlende Seite eines rechtwinkligen Dreiecks
Gegeben sind die Katheten a = 5 cm und b = 12 cm. Gesucht ist die Hypotenuse c.Lösung:
Zunächst wenden wir den Satz des Pythagoras an:
c² = a² + b²
c² = 5² + 12²
c² = 25 + 144
c² = 169
Um c zu berechnen, ziehen wir die Wurzel aus beiden Seiten:
c = √169
c = 13 cm
Die fehlende Seite, die Hypotenuse, beträgt 13 cm.
2. Aufgabe: Überprüfe, ob es sich bei einem Dreieck um ein rechtwinkliges Dreieck handelt
Gegeben sind die Seitenlängen eines Dreiecks: a = 8 cm, b = 15 cm und c = 17 cm.Lösung:
Wir überprüfen, ob der Satz des Pythagoras für dieses Dreieck gilt:
a² + b² = c²
8² + 15² = 17²
64 + 225 = 289
Da die Gleichung aufgeht, handelt es sich bei diesem Dreieck um ein rechtwinkliges Dreieck.
3. Aufgabe: Berechne die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks
Gegeben sind die Seite a = 6 cm und die Höhe h = 4 cm eines gleichschenkligen Dreiecks. Gesucht ist die Seite b.Lösung:
Wir nutzen den Satz des Pythagoras für gleichschenklige Dreiecke:
b² = a² – (h/2)²
b² = 6² – (4/2)²
b² = 36 – 4
b² = 32
Um b zu berechnen, ziehen wir die Wurzel aus beiden Seiten:
b = √32
b ≈ 5,66 cm
Die gesuchte Seite b beträgt etwa 5,66 cm.
4. Aufgabe: Berechne die Diagonale eines Rechtecks
Gegeben sind die Seitenlängen eines Rechtecks: a = 8 cm und b = 10 cm. Gesucht ist die Länge der Diagonalen d.Lösung:
Wir wenden den Satz des Pythagoras auf das Rechteck an:
d² = a² + b²
d² = 8² + 10²
d² = 64 + 100
d² = 164
Um d zu berechnen, ziehen wir die Wurzel aus beiden Seiten:
d = √164
d ≈ 12,81 cm
Die Länge der Diagonalen beträgt etwa 12,81 cm.
5. Aufgabe: Berechne die Größe eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck
Gegeben sind die Katheten a = 3 cm und b = 4 cm eines rechtwinkligen Dreiecks. Gesucht ist die Größe des Winkels α gegenüber der Kathete a.Lösung:
Wir nutzen die Tangens-Funktion, um α zu berechnen:
tan(α) = gegenkathete / ankathete
tan(α) = b / a
tan(α) = 4 / 3
Um α zu berechnen, wenden wir die Arkustangens-Funktion an:
α = arctan(4/3)
α ≈ 53,13°
Der gesuchte Winkel α beträgt etwa 53,13 Grad.
6. Aufgabe: Berechne die Seitenlänge eines gleichseitigen Dreiecks
Gegeben ist die Höhe h = 5 cm eines gleichseitigen Dreiecks. Gesucht ist die Seitenlänge a.Lösung:
Wir nutzen den Satz des Pythagoras für gleichseitige Dreiecke:
a² = (h/2)² + h²
a² = (5/2)² + 5²
a² = 6,25 + 25
a² = 31,25
Um a zu berechnen, ziehen wir die Wurzel aus beiden Seiten:
a = √31,25
a ≈ 5,59 cm
Die gesuchte Seitenlänge a beträgt etwa 5,59 cm.
7. Aufgabe: Berechne die Entfernung zweier Punkte auf einer Ebene
Gegeben sind die Koordinaten zweier Punkte auf einer Ebene: P1(3, 4) und P2(7, 9). Gesucht ist die Entfernung zwischen den Punkten.Lösung:
Wir nutzen den Satz des Pythagoras in der Koordinatenebene:
d² = (x2 – x1)² + (y2 – y1)²
d² = (7 – 3)² + (9 – 4)²
d² = 4² + 5²
d² = 16 + 25
d² = 41
Um d zu berechnen, ziehen wir die Wurzel aus beiden Seiten:
d = √41
d ≈ 6,40
Die Entfernung zwischen den Punkten beträgt etwa 6,40 Einheiten.
Der Satz des Pythagoras ist ein wichtiger Bestandteil des Mathematikunterrichts in der 8. Klasse. Dabei geht es um die Berechnung der Seitenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks. In diesem Blogbeitrag möchten wir Ihnen einige Aufgaben und Lösungen zum Thema präsentieren.
Was ist der Satz des Pythagoras?
Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Quadrate der Katheten (die beiden kurzen Seiten) gleich dem Quadrat der Hypotenuse (die längste Seite) ist. Die Formel lautet also: a² + b² = c².
Aufgaben zum Satz des Pythagoras
- Berechnen Sie die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a = 3 und b = 4.
- Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c = 10 und der Kathete a = 6. Berechnen Sie die Länge der Kathete b.
- Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Kathete a = 8 und die Hypotenuse c = 17. Berechnen Sie die Länge der Kathete b.
Lösungen zu den Aufgaben
- Die Hypotenuse c berechnet sich folgendermaßen: c² = a² + b², also c² = 3² + 4². Daraus ergibt sich c² = 9 + 16 = 25. Die Wurzel aus 25 ist 5, also ist die Hypotenuse gleich 5.
- Zur Berechnung von b nutzen wir die Formel b² = c² – a². Also b² = 10² – 6² = 100 – 36 = 64. Die Wurzel aus 64 ist 8, also ist die Länge der Kathete b gleich 8.
- Um die Länge von b zu berechnen, setzen wir die bekannten Werte in die Formel c² = a² + b² ein. Also 17² = 8² + b². Daraus ergibt sich 289 = 64 + b², also b² = 225. Die Wurzel aus 225 ist 15, also ist die Länge der Kathete b gleich 15.
Wir hoffen, dass Ihnen diese Aufgaben und Lösungen zum Satz des Pythagoras in der 8. Klasse weitergeholfen haben. Wenn Sie weitere Fragen oder Probleme haben, zögern Sie nicht, Ihre Lehrkraft um Hilfe zu bitten.
| Vorname | Nachname | Alter |
|---|---|---|
| Max | Müller | 13 |
| Lena | Schmidt | 14 |
| Tom | Wagner | 13 |