Öffnen Lösungen PDF – Bruchgleichungen
Aufgabe 1: Lösen von Bruchgleichungen
Lösen Sie die folgende Bruchgleichung nach x auf:
$$frac{2x+3}{x-1} = frac{5}{x+2}$$
Lösung:
Zunächst müssen wir die Gleichung auf einen Hauptnenner bringen, um sie leichter lösen zu können. Der Hauptnenner in diesem Fall ist (x-1)(x+2).
$$frac{(2x+3)(x+2)}{(x-1)(x+2)} = frac{5(x-1)}{(x-1)(x+2)}$$
Nun können wir die Gleichung vereinfachen:
$$2x^2+7x+6 = 5x-5$$
$$2x^2+2x+11 = 0$$
Wir können diese Gleichung mit der quadratischen Formel lösen:
$$x_{1,2} = frac{-2 pm sqrt{(-2)^2 – 4(2)(11)}}{2(2)}$$
$$x_{1,2} = -frac{1}{2} pm frac{sqrt{11}i}{2}$$
Die Lösungen sind also:
$$x_1 = -frac{1}{2} + frac{sqrt{11}i}{2}$$
$$x_2 = -frac{1}{2} – frac{sqrt{11}i}{2}$$
Aufgabe 2: Multiplikation von Brüchen
Berechnen Sie das Ergebnis der folgenden Bruchrechnung:
$$frac{3}{4} cdot frac{5}{6}$$
Lösung:
Um Brüche zu multiplizieren, multiplizieren wir einfach die Zähler und die Nenner miteinander:
$$frac{3}{4} cdot frac{5}{6} = frac{3 cdot 5}{4 cdot 6} = frac{15}{24}$$
Die Lösung können wir noch kürzen, indem wir den größten gemeinsamen Teiler von 15 und 24 suchen:
$$15 = 3 cdot 5$$
$$24 = 2^3 cdot 3$$
Der größte gemeinsame Teiler ist also 3.
$$frac{15}{24} = frac{5}{8}$$
Aufgabe 3: Addition von Brüchen
Berechnen Sie das Ergebnis der folgenden Bruchrechnung:
$$frac{1}{3} + frac{2}{5}$$
Lösung:
Um Brüche zu addieren, müssen wir sie auf den gleichen Nenner bringen. Hier ist der kleinste gemeinsame Nenner 15.
$$frac{1}{3} + frac{2}{5} = frac{5}{15} + frac{6}{15} = frac{11}{15}$$
Die Lösung ist also $$frac{11}{15}$$.
Aufgabe 4: Multiplikation von Bruchgleichungen
Lösen Sie die folgende Bruchgleichung nach x auf:
$$frac{x+2}{x-3} cdot frac{4x}{x+5} = frac{8}{3}$$
Lösung:
Zunächst müssen wir die Gleichung auf einen Hauptnenner bringen, um sie leichter lösen zu können. Der Hauptnenner in diesem Fall ist (x-3)(x+5).
$$frac{(x+2)(4x)}{(x-3)(x+5)} = frac{8}{3}$$
Nun können wir die Gleichung vereinfachen:
$$4x^2+8x = frac{8}{3}(x-3)(x+5)$$
$$4x^2+8x = frac{8}{3}(x^2+2x-15)$$
$$12x^2+24x = 8x^2+16x-120$$
$$4x^2-8x+120 = 0$$
Wir können diese Gleichung durch 4 teilen, um sie zu vereinfachen:
$$x^2-2x+30 = 0$$
Wir können diese Gleichung mit der quadratischen Formel lösen:
$$x_{1,2} = frac{2 pm sqrt{2^2 – 4(1)(30)}}{2(1)}$$
$$x_{1,2} = 1 pm sqrt{-29}i$$
Die Lösungen sind also:
$$x_1 = 1 + sqrt{-29}i$$
$$x_2 = 1 – sqrt{-29}i$$
Aufgabe 5: Division von Brüchen
Berechnen Sie das Ergebnis der folgenden Bruchrechnung:
$$frac{3}{4} div frac{5}{6}$$
Lösung:
Um Brüche zu dividieren, multiplizieren wir den ersten Bruch mit dem Kehrbruch des zweiten Bruchs:
$$frac{3}{4} div frac{5}{6} = frac{3}{4} cdot frac{6}{5} = frac{18}{20}$$
Die Lösung können wir noch kürzen, indem wir den größten gemeinsamen Teiler von 18 und 20 suchen:
$$18 = 2 cdot 3^2$$
$$20 = 2^2 cdot 5$$
Der größte gemeinsame Teiler ist also 2.
$$frac{18}{20} = frac{9}{10}$$
Aufgabe 6: Bruchgleichungen mit Variablen im Nenner
Lösen Sie die folgende Bruchgleichung nach x auf:
$$frac{2}{x-3} – frac{3}{x+2} = frac{1}{x+2}$$
Lösung:
Zunächst müssen wir die Gleichung auf einen Hauptnenner bringen, um sie leichter lösen zu können. Der Hauptnenner in diesem Fall ist (x-3)(x+2).
$$frac{2(x+2)}{(x-3)(x+2)} – frac{3(x-3)}{(x-3)(x+2)} = frac{1}{x+2}$$
Nun können wir die Gleichung vereinfachen:
$$2(x+2) – 3(x-3) = frac{(x-3)(x+2)}{x+2}$$
$$2x+4-3x+9 = frac{x^2-x-6}{x+2}$$
$$x^2-3x-14 = 0$$
Wir können diese Gleichung mit der quadratischen Formel lösen:
$$x_{1,2} = frac{3 pm sqrt{3^2 – 4(1)(-14)}}{2(1)}$$
$$x_{1,2} = frac{3 pm sqrt{61}}{2}$$
Die Lösungen sind also:
$$x_1 = frac{3 + sqrt{61}}{2}$$
$$x_2 = frac{3 – sqrt{61}}{2}$$
Aufgabe 7: Bruchgleichungen mit Variablen im Zähler und im Nenner
Lösen Sie die folgende Bruchgleichung nach x auf:
$$frac{x^2-9}{x-3} = frac{2x+6}{x+3}$$
Lösung:
Zunächst müssen wir die Gleichung auf einen Hauptnenner bringen, um sie leichter lösen zu können. Der Hauptnenner in diesem Fall ist (x-3)(x+3).
$$frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = frac{2(x+3)}{x+3}$$
Nun können wir die Gleichung vereinfachen:
$$x+3 = 2x+6$$
$$x = 3$$
Die Lösung ist also x = 3.
Aufgabe 8: Bruchgleichungen mit komplexen Zahlen
Lösen Sie die folgende Bruchgleichung nach x auf:
$$frac{x+2}{x-3} = frac{1}{x+5i}$$
Lösung:
Zunächst müssen wir die Gleichung auf einen Hauptnenner bringen, um sie leichter lösen zu können. Der Hauptnenner in diesem Fall ist (x-3)(x+5i).
$$frac{(x+2)(x+5i)}{(x-3)(x+5i)} = frac{1(x-3)}{(x-3)(x+5i)}$$
Nun können wir die Gleichung vereinfachen:
$$x^2+2x+5ix+10i = x-3$$
$$x^2+x+3+5ix-10i = 0$$
Wir können diese Gleichung mit der quadratischen Formel lösen:
$$x_{1,2} = frac{-1 pm sqrt{1^2 – 4(1)(3-5i)}}{2(1)}$$
$$x_{1,2} = -frac{1}{2} pm frac{sqrt{11}i}{2}$$
Die Lösungen sind also:
$$x_1 = -frac{1}{2} + frac{sqrt{11}i}{2}$$
$$x_2 = -frac{1}{2} – frac{sqrt{11}i}{2}$$
In der neunten Klasse beschäftigen sich Schülerinnen und Schüler mit Bruchgleichungen. Diese können oft knifflig sein, aber mit ein wenig Übung lassen sie sich problemlos lösen. Im Folgenden stellen wir Ihnen einige Aufgaben vor, die Ihnen dabei helfen sollen, Ihre Fähigkeiten zu verbessern. Natürlich gibt es auch Lösungen, damit Sie Ihre Ergebnisse überprüfen können.
Aufgabe 1
Lösen Sie die Bruchgleichung: $frac{2}{x-1} = frac{6}{x+2}$
Lösung:
- Multiplizieren Sie beide Seiten mit $(x-1)(x+2)$, um die Brüche zu beseitigen:
- $2(x+2) = 6(x-1)$
- Multiplizieren Sie aus:
- $2x+4 = 6x-6$
- Ziehen Sie 2x von beiden Seiten ab:
- $4 = 4x-6$
- addieren Sie 6 auf beiden Seiten:
- $10 = 4x$
- teilen Sie durch 4:
- $x = 2.5$
Aufgabe 2
Lösen Sie die Bruchgleichung: $frac{3}{x+1} – frac{2}{x+2} = frac{1}{x+3}$
Lösung:
- Multiplizieren Sie beide Seiten mit $(x+1)(x+2)(x+3)$, um die Brüche zu beseitigen:
- $3(x+2)(x+3) – 2(x+1)(x+3) = (x+1)(x+2)$
- Multiplizieren Sie aus:
- $3x^2+15x+18-2x^2-8x-6 = x^2+3x+2$
- Vereinfachen:
- $x^2+4x+10 = 0$
- Verwenden Sie die quadratische Formel:
- $x = frac{-4 pm sqrt{16-40}}{2} = -2 pm isqrt{6}$
Wir hoffen, dass Ihnen diese Aufgaben geholfen haben, Ihre Fähigkeiten im Umgang mit Bruchgleichungen zu verbessern. Wenn Sie noch weitere Übung benötigen, empfehlen wir Ihnen, im Internet nach weiteren Aufgaben zu suchen oder sich an Ihren Lehrer zu wenden.