Höhensatz Aufgaben Mit Lösungen 9 Klasse

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Aufgabe 1

Gegeben ist ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen a = 6 cm, b = 8 cm und c = 10 cm. Berechne die Höhe h_c auf die Seite c.

Lösung:

Zunächst berechnen wir den Flächeninhalt des Dreiecks mit der Formel A = (1/2) * a * h_c. Dazu benötigen wir die Höhe h_c auf die Seite c.

Mit dem Satz des Pythagoras können wir die Länge der Höhe berechnen:

h_c² = b² – ((a² + b² – c²) / 2)²

h_c² = 8² – ((6² + 8² – 10²) / 2)²

h_c² = 8² – 1,5²

h_c² = 60,25

h_c = 7,76 cm

Jetzt können wir den Flächeninhalt berechnen:

A = (1/2) * a * h_c

A = (1/2) * 6 cm * 7,76 cm

A = 23,28 cm²

Aufgabe 2

Gegeben ist ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen a = 5 cm, b = 12 cm und c = 13 cm. Berechne die Höhe h_b auf die Seite b.

Lösung:

Zunächst berechnen wir den Flächeninhalt des Dreiecks mit der Formel A = (1/2) * b * h_b. Dazu benötigen wir die Höhe h_b auf die Seite b.

Mit dem Satz des Pythagoras können wir die Länge der Höhe berechnen:

h_b² = a² – ((b² + a² – c²) / 2)²

h_b² = 5² – ((12² + 5² – 13²) / 2)²

h_b² = 5² – 3,5²

h_b² = 11,75

h_b = 3,43 cm

Jetzt können wir den Flächeninhalt berechnen:

A = (1/2) * b * h_b

A = (1/2) * 12 cm * 3,43 cm

A = 20,58 cm²

Aufgabe 3

Gegeben ist ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen a = 7 cm, b = 24 cm und c = 25 cm. Berechne die Höhe h_a auf die Seite a.

Lösung:

Zunächst berechnen wir den Flächeninhalt des Dreiecks mit der Formel A = (1/2) * a * h_a. Dazu benötigen wir die Höhe h_a auf die Seite a.

Mit dem Satz des Pythagoras können wir die Länge der Höhe berechnen:

h_a² = b² – ((a² + b² – c²) / 2)²

h_a² = 24² – ((7² + 24² – 25²) / 2)²

h_a² = 24² – 8,5²

h_a² = 463,75

h_a = 21,52 cm

Jetzt können wir den Flächeninhalt berechnen:

A = (1/2) * a * h_a

A = (1/2) * 7 cm * 21,52 cm

A = 75,32 cm²

Aufgabe 4

Gegeben ist ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen a = 9 cm, b = 40 cm und c = 41 cm. Berechne die Höhe h_b auf die Seite b.

Lösung:

Zunächst berechnen wir den Flächeninhalt des Dreiecks mit der Formel A = (1/2) * b * h_b. Dazu benötigen wir die Höhe h_b auf die Seite b.

Mit dem Satz des Pythagoras können wir die Länge der Höhe berechnen:

h_b² = a² – ((b² + a² – c²) / 2)²

h_b² = 9² – ((40² + 9² – 41²) / 2)²

h_b² = 9² – 15,5²

h_b² = 196,75

h_b = 14,03 cm

Jetzt können wir den Flächeninhalt berechnen:

A = (1/2) * b * h_b

A = (1/2) * 40 cm * 14,03 cm

A = 280,6 cm²

Aufgabe 5

Gegeben ist ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen a = 10 cm, b = 24 cm und c = 26 cm. Berechne die Höhe h_c auf die Seite c.

Lösung:

Zunächst berechnen wir den Flächeninhalt des Dreiecks mit der Formel A = (1/2) * c * h_c. Dazu benötigen wir die Höhe h_c auf die Seite c.

Mit dem Satz des Pythagoras können wir die Länge der Höhe berechnen:

h_c² = b² – ((a² + b² – c²) / 2)²

h_c² = 24² – ((10² + 24² – 26²) / 2)²

h_c² = 24² – 7²

h_c² = 575

h_c = 23,98 cm

Jetzt können wir den Flächeninhalt berechnen:

A = (1/2) * c * h_c

A = (1/2) * 26 cm * 23,98 cm

A = 311,48 cm²

Aufgabe 6

Gegeben ist ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen a = 11 cm, b = 60 cm und c = 61 cm. Berechne die Höhe h_a auf die Seite a.

Lösung:

Zunächst berechnen wir den Flächeninhalt des Dreiecks mit der Formel A = (1/2) * a * h_a. Dazu benötigen wir die Höhe h_a auf die Seite a.

Mit dem Satz des Pythagoras können wir die Länge der Höhe berechnen:

h_a² = b² – ((a² + b² – c²) / 2)²

h_a² = 60² – ((11² + 60² – 61²) / 2)²

h_a² = 60² – 29,5²

h_a² = 1675,75

h_a = 40,93 cm

Jetzt können wir den Flächeninhalt berechnen:

A = (1/2) * a * h_a

A = (1/2) * 11 cm * 40,93 cm

A = 224,62 cm²

Aufgabe 7

Gegeben ist ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen a = 12 cm, b = 35 cm und c = 37 cm. Berechne die Höhe h_b auf die Seite b.

Lösung:

Zunächst berechnen wir den Flächeninhalt des Dreiecks mit der Formel A = (1/2) * b * h_b. Dazu benötigen wir die Höhe h_b auf die Seite b.

Mit dem Satz des Pythagoras können wir die Länge der Höhe berechnen:

h_b² = a² – ((b² + a² – c²) / 2)²

h_b² = 12² – ((35² + 12² – 37²) / 2)²

h_b² = 12² – 11,5²

h_b² = 6,25

h_b = 2,5 cm

Jetzt können wir den Flächeninhalt berechnen:

A = (1/2) * b * h_b

A = (1/2) * 35 cm * 2,5 cm

A = 43,75 cm²

Aufgabe 8

Gegeben ist ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen a = 13 cm, b = 84 cm und c = 85 cm. Berechne die Höhe h_c auf die Seite c.

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In der 9. Klasse beschäftigen sich Schülerinnen und Schüler oft mit dem Höhensatz in der Geometrie. Der Höhensatz ist ein wichtiger Satz, der den Zusammenhang zwischen Höhen und Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck beschreibt. Im Folgenden werden wir einige Aufgaben mit Lösungen zum Höhensatz für die 9. Klasse vorstellen.

Beispiel 1

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit der Hypotenuse c = 10 cm und der Höhe h_a auf der Hypotenuse. Berechne die Länge von h_a.

Lösung: Nach dem Höhensatz gilt: h_a^2 = p * (p – c), wobei p die Länge des Abschnitts der Hypotenuse c ist, der sich zwischen dem rechten Winkel und dem Fußpunkt der Höhe h_a befindet. Da c = 10 cm, können wir p mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen: p^2 + h_a^2 = c^2. Daraus folgt: p^2 + h_a^2 = 100. Da das Dreieck rechtwinklig ist, gilt auch: p = c – p. Also ist p = 10 – p. Einsetzen in die Gleichung für p^2 + h_a^2 liefert: (10 – p)^2 + h_a^2 = 100. Auflösen nach h_a ergibt: h_a = 6 cm.

Beispiel 2

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit der Hypotenuse c = 8 cm und der Höhe h_a auf der Hypotenuse. Berechne die Länge von AB, wenn h_a = 3 cm ist.

Lösung: Nach dem Höhensatz gilt: h_a^2 = p * (p – c), wobei p die Länge des Abschnitts der Hypotenuse c ist, der sich zwischen dem rechten Winkel und dem Fußpunkt der Höhe h_a befindet. Da c = 8 cm und h_a = 3 cm, können wir die Gleichung nach p umstellen: p = (h_a^2 + c^2) / (2 * h_a) = (3^2 + 8^2) / (2 * 3) = 17 / 3. Da das Dreieck rechtwinklig ist, gilt auch: AB^2 = c^2 – p^2. Einsetzen der Werte liefert: AB^2 = 8^2 – (17/3)^2. Auflösen nach AB ergibt: AB ≈ 6,4 cm.

Beispiel 3

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit der Hypotenuse c = 7 cm und der Höhe h_a auf der Hypotenuse. Berechne die Länge von AC, wenn h_a = 4 cm ist.

Lösung: Nach dem Höhensatz gilt: h_a^2 = p * (p – c), wobei p die Länge des Abschnitts der Hypotenuse c ist, der sich zwischen dem rechten Winkel und dem Fußpunkt der Höhe h_a befindet. Da c = 7 cm und h_a = 4 cm, können wir die Gleichung nach p umstellen: p = (h_a^2 + c^2) / (2 * h_a) = (4^2 + 7^2) / (2 * 4) = 29/8. Da das Dreieck rechtwinklig ist, gilt auch: AC^2 = p^2 – h_a^2. Einsetzen der Werte liefert: AC^2 = (29/8)^2 – 4^2. Auflösen nach AC ergibt: AC ≈ 2,9 cm.

Fazit

Der Höhensatz ist ein wichtiger Satz in der Geometrie, der den Zusammenhang zwischen Höhen und Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck beschreibt. Mit Hilfe von Aufgaben und Lösungen wie den oben genannten können Schülerinnen und Schüler der 9. Klasse ihr Verständnis für den Höhensatz vertiefen und ihre Fähigkeiten in der Geometrie verbessern.

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