Öffnen Lösungen PDF – Zylinder
1. Berechne das Volumen eines Zylinders
Gegeben ist ein Zylinder mit einer Höhe von 10 cm und einem Radius von 4 cm. Berechne das Volumen des Zylinders.
Lösung:
Zunächst müssen wir den Flächeninhalt des Kreises berechnen, der den Boden des Zylinders bildet:
A = π * r²
A = 3,14 * 4²
A = 50,24 cm²
Dann können wir das Volumen des Zylinders berechnen:
V = A * h
V = 50,24 cm² * 10 cm
V = 502,4 cm³
2. Berechne die Oberfläche eines Zylinders
Gegeben ist ein Zylinder mit einer Höhe von 8 cm und einem Radius von 3 cm. Berechne die Oberfläche des Zylinders.
Lösung:
Zunächst müssen wir den Flächeninhalt des Kreises berechnen, der den Boden des Zylinders bildet:
A = π * r²
A = 3,14 * 3²
A = 28,26 cm²
Dann können wir die Oberfläche des Zylinders berechnen:
O = 2 * A + h * U
O = 2 * 28,26 cm² + 8 cm * 2 * 3,14 * 3 cm
O = 56,52 cm² + 150,72 cm²
O = 207,24 cm²
3. Berechne die Höhe eines Zylinders
Gegeben ist ein Zylinder mit einem Volumen von 150 cm³ und einem Radius von 2 cm. Berechne die Höhe des Zylinders.
Lösung:
Zunächst müssen wir den Flächeninhalt des Kreises berechnen, der den Boden des Zylinders bildet:
A = π * r²
A = 3,14 * 2²
A = 12,56 cm²
Dann können wir die Höhe des Zylinders berechnen:
V = A * h
150 cm³ = 12,56 cm² * h
h = 11,94 cm
4. Vergleiche zwei Zylinder
Zylinder A hat eine Höhe von 6 cm und einen Radius von 2 cm. Zylinder B hat eine Höhe von 8 cm und einen Radius von 3 cm. Welcher Zylinder hat das größere Volumen?
Lösung:
Wir berechnen zunächst das Volumen von Zylinder A:
V = A * h
A = π * r²
A = 3,14 * 2²
A = 12,56 cm²
V = 12,56 cm² * 6 cm
V = 75,36 cm³
Dann berechnen wir das Volumen von Zylinder B:
V = A * h
A = π * r²
A = 3,14 * 3²
A = 28,26 cm²
V = 28,26 cm² * 8 cm
V = 226,08 cm³
Damit hat Zylinder B das größere Volumen.
5. Berechne den Umfang eines Zylinders
Gegeben ist ein Zylinder mit einer Höhe von 12 cm und einem Radius von 5 cm. Berechne den Umfang des Zylinders.
Lösung:
Zunächst berechnen wir den Umfang des Kreises, der den Boden des Zylinders bildet:
U = 2 * π * r
U = 2 * 3,14 * 5 cm
U = 31,4 cm
Dann können wir den Umfang des Zylinders berechnen:
U = 2 * π * r + 2 * h
U = 2 * 3,14 * 5 cm + 2 * 12 cm
U = 31,4 cm + 24 cm
U = 55,4 cm
6. Berechne die Oberfläche eines Zylinders
Gegeben ist ein Zylinder mit einem Volumen von 300 cm³ und einem Radius von 4 cm. Berechne die Oberfläche des Zylinders.
Lösung:
Zunächst müssen wir den Flächeninhalt des Kreises berechnen, der den Boden des Zylinders bildet:
A = π * r²
A = 3,14 * 4²
A = 50,24 cm²
Dann können wir die Höhe des Zylinders berechnen:
V = A * h
300 cm³ = 50,24 cm² * h
h = 5,97 cm
Dann können wir die Oberfläche des Zylinders berechnen:
O = 2 * A + h * U
U = 2 * π * r
U = 2 * 3,14 * 4 cm
U = 25,12 cm
O = 2 * 50,24 cm² + 5,97 cm * 25,12 cm
O = 100,48 cm² + 150,17 cm²
O = 250,65 cm²
7. Berechne das Volumen eines Zylinders
Gegeben ist ein Zylinder mit einer Oberfläche von 100 cm² und einem Radius von 2,5 cm. Berechne das Volumen des Zylinders.
Lösung:
Zunächst müssen wir den Flächeninhalt des Kreises berechnen, der den Boden des Zylinders bildet:
A = π * r²
A = 3,14 * 2,5²
A = 19,63 cm²
Dann können wir die Höhe des Zylinders berechnen:
O = 2 * A + h * U
U = 2 * π * r
U = 2 * 3,14 * 2,5 cm
U = 15,7 cm
100 cm² = 2 * 19,63 cm² + h * 15,7 cm
60,74 cm² = h * 15,7 cm
h = 3,86 cm
Dann können wir das Volumen des Zylinders berechnen:
V = A * h
V = 19,63 cm² * 3,86 cm
V = 75,72 cm³
8. Vergleiche zwei Zylinder
Zylinder A hat eine Oberfläche von 150 cm² und einen Radius von 4 cm. Zylinder B hat ein Volumen von 200 cm³ und einen Radius von 3 cm. Welcher Zylinder hat die größere Höhe?
Lösung:
Wir berechnen zunächst die Höhe von Zylinder A:
O = 2 * A + h * U
U = 2 * π * r
U = 2 * 3,14 * 4 cm
U = 25,12 cm
150 cm² = 2 * π * 4² + h * 25,12 cm
141,68 cm² = h * 25,12 cm
h = 5,63 cm
Dann berechnen wir die Höhe von Zylinder B:
V = A * h
A = π * r²
A = 3,14 * 3²
A = 28,26 cm²
200 cm³ = 28,26 cm² * h
h = 7,07 cm
Damit hat Zylinder B die größere Höhe.
9. Berechne den Umfang eines Zylinders
Gegeben ist ein Zylinder mit einem Volumen von 250 cm³ und einer Höhe von 5 cm. Berechne den Umfang des Zylinders.
Lösung:
Zunächst müssen wir den Flächeninhalt des Kreises berechnen, der den Boden des Zylinders bildet:
V = A * h
A = V / h
A = 250 cm³ / 5 cm
A = 50 cm²
Dann können wir den Umfang des Kreises berechnen:
U = 2 * π * r
U = 2 * 3,14 * r
Da wir den Radius noch nicht kennen, müssen wir ihn berechnen:
A = π * r²
50 cm² = 3,14 * r²
r² = 15,92 cm²
r = 3,99 cm
Jetzt können wir den Umfang des Zylinders berechnen:
U = 2 * π * 3,99 cm
U = 25,07 cm
10. Berechne die Oberfläche eines Zylinders
Gegeben ist ein Zylinder mit einer Höhe von 7 cm und einem Volumen von 200 cm³. Berechne die Oberfläche des Zylinders.
Lösung:
Zunächst müssen wir den Flächeninhalt des Kreises berechnen, der den Boden des Zylinders bildet:
V = A * h
A = V / h
A = 200 cm³ / 7 cm
A = 28,57 cm²
Dann können wir die Höhe des Zylinders berechnen:
O = 2 * A + h * U
U = 2 * π * r
Da wir den Radius noch nicht kennen, müssen wir ihn berechnen:
A = π * r²
28,57 cm² = 3,14 * r²
r² = 9,1 cm²
r = 3,02 cm
Dann können wir die Oberfläche des Zylinders berechnen:
O = 2 * 28,57 cm² + 7 cm * 2 * 3,14 * 3,02 cm
O = 57,14 cm² + 134,0 cm²
O = 191,14 cm²
In der neunten Klasse wird in Mathematik das Thema „Zylinder“ behandelt. Dabei geht es um die Berechnung von Volumen und Oberfläche eines Zylinders. Hier sind einige Aufgaben mit Lösungen:
Aufgabe 1:
Ein Getränkehersteller füllt Limonade in Zylinderflaschen mit einem Durchmesser von 7 cm und einer Höhe von 20 cm. Wie viel Limonade befindet sich in einer Flasche?
Lösung:
Zunächst berechnen wir das Volumen des Zylinders:
V = π · (r²) · h
mit r = 3,5 cm (Radius = Durchmesser / 2) und h = 20 cm:
V = π · (3,5 cm)² · 20 cm ≈ 770,8 cm³
Also befinden sich in einer Flasche 770,8 cm³ Limonade.
Aufgabe 2:
Ein Zylinder hat eine Oberfläche von 282,7 cm² und eine Höhe von 8 cm. Wie groß ist der Durchmesser des Zylinders?
Lösung:
Zunächst berechnen wir den Radius des Zylinders:
O = 2 · π · r · h + 2 · π · (r²)
mit O = 282,7 cm² und h = 8 cm:
282,7 cm² = 2 · π · r · 8 cm + 2 · π · (r²)
282,7 cm² = 16 · π · r + 2 · π · (r²)
282,7 cm² = 2 · π · r · (8 cm + r)
141,35 cm² = π · r · (8 cm + r)
Jetzt können wir die quadratische Gleichung lösen:
r² + 8 cm · r – 141,35 cm² / π = 0
Die Lösung ist:
r ≈ 4,18 cm
Also hat der Zylinder einen Durchmesser von etwa 8,36 cm.
Aufgabe 3:
Ein Zylinder hat eine Oberfläche von 452,4 cm² und ein Volumen von 1131 cm³. Wie groß ist die Höhe des Zylinders?
Lösung:
Zunächst berechnen wir den Radius des Zylinders aus dem Volumen:
V = π · (r²) · h
mit V = 1131 cm³:
1131 cm³ = π · (r²) · h
r² = 1131 cm³ / (π · h)
r ≈ 5,03 cm
Dann berechnen wir die Oberfläche aus dem Radius und der Höhe:
O = 2 · π · r · h + 2 · π · (r²)
mit O = 452,4 cm²:
452,4 cm² = 2 · π · 5,03 cm · h + 2 · π · (5,03 cm)²
452,4 cm² = 10,06 · π · h + 2 · π · (25,3 cm²)
452,4 cm² = 10,06 · π · h + 50,6 · π cm²
401,8 cm² = 10,06 · π · h
h ≈ 12,68 cm
Also ist die Höhe des Zylinders etwa 12,68 cm.
- Aufgabe 1: Volumen einer Zylinderflasche berechnen
- Aufgabe 2: Durchmesser eines Zylinders aus der Oberfläche berechnen
- Aufgabe 3: Höhe eines Zylinders aus Oberfläche und Volumen berechnen
Mit diesen Aufgaben solltest du in der Lage sein, Zylinder problemlos zu berechnen. Viel Erfolg!
| Aufgabe | Lösung |
|---|---|
| 1 | 770,8 cm³ |
| 2 | 8,36 cm |
| 3 | 12,68 cm |