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Übung 1: Maximales Rechteck im Koordinatensystem
Gegeben ist das Koordinatensystem mit den Punkten A(0|0), B(4|0), C(4|3) und D(0|3).
Bestimme die Maße des rechteckigen Bereichs, der durch die vier Punkte begrenzt wird, und zeige, dass es sich um das größtmögliche Rechteck handelt.
Lösung:
Um das größtmögliche Rechteck zu finden, müssen wir die Länge und Breite des Rechtecks maximieren, während wir die Bedingung einhalten, dass die Eckpunkte A, B, C und D die Begrenzungen des Rechtecks sind.
Die Länge des Rechtecks ist die Distanz zwischen den Punkten A und D, also:
Länge = AD = 3
Die Breite des Rechtecks ist die Distanz zwischen den Punkten A und B, also:
Breite = AB = 4
Also hat das Rechteck die Maße 3 x 4. Wir müssen jetzt zeigen, dass es keine größere Rechteckfläche geben kann.
Angenommen, es gäbe eine größere Rechteckfläche mit den Eckpunkten A‘, B‘, C‘ und D‘.
Da das Rechteck von A, B, C und D die größtmögliche Fläche hat, müssen A‘, B‘, C‘ und D‘ innerhalb des Rechtecks von A, B, C und D liegen.
Das heißt, die Koordinaten von A‘, B‘, C‘ und D‘ müssen folgende Bedingungen erfüllen:
0 ≤ x(A‘) ≤ x(B‘) ≤ 4
0 ≤ y(A‘) ≤ y(D‘) ≤ 3
Die Fläche des größeren Rechtecks kann berechnet werden als:
Fläche = Länge x Breite = (y(D‘) – y(A‘)) x (x(B‘) – x(A‘))
Da das größere Rechteck eine größere Fläche hat als das Rechteck von A, B, C und D, muss gelten:
(y(D‘) – y(A‘)) x (x(B‘) – x(A‘)) > 3 x 4 = 12
Da die Koordinaten von A‘, B‘, C‘ und D‘ innerhalb des Rechtecks von A, B, C und D liegen müssen, können wir die Bedingungen für A‘ und D‘ nutzen, um die Bedingungen für B‘ und C‘ zu erhalten:
x(A‘) ≤ x(B‘) ≤ 4
y(A‘) ≤ y(D‘) ≤ y(C‘)
Wir können diese Bedingungen nun in die Ungleichung einsetzen:
(y(C‘) – y(A‘)) x (4 – x(A‘)) > 12
Da das größere Rechteck eine größere Fläche hat als das Rechteck von A, B, C und D, muss gelten:
(y(C‘) – y(A‘)) x (4 – x(A‘)) > (y(D‘) – y(A‘)) x (x(B‘) – x(A‘))
Wir können diese Ungleichung nun umformen und erhalten:
y(C‘) > y(D‘) + (y(D‘) – y(A‘)) x (4 – x(B‘)) / (4 – x(A‘))
Da A‘, B‘, C‘ und D‘ innerhalb des Rechtecks von A, B, C und D liegen müssen, müssen die Koordinaten von C‘ innerhalb des Dreiecks ABC liegen.
Das heißt, die Koordinate y(C‘) muss kleiner oder gleich der Koordinate von C sein:
y(C‘) ≤ 3
Wir können diese Bedingung nun in die Ungleichung einsetzen:
3 ≥ y(D‘) + (y(D‘) – y(A‘)) x (4 – x(B‘)) / (4 – x(A‘))
Wir können diese Ungleichung noch weiter umformen:
(y(D‘) – y(A‘)) x (4 – x(B‘)) ≤ (4 – x(A‘)) x (3 – y(D‘))
Da A‘, B‘, C‘ und D‘ innerhalb des Rechtecks von A, B, C und D liegen müssen, müssen die Koordinaten von B‘ innerhalb des Dreiecks BCD liegen.
Das heißt, die Koordinate x(B‘) muss kleiner oder gleich der Koordinate von B sein:
x(B‘) ≤ 4
Wir können diese Bedingung nun in die Ungleichung einsetzen:
(y(D‘) – y(A‘)) x (4 – x(B‘)) ≤ (4 – x(A‘)) x (3 – y(D‘)) ≤ 12
Da die linke Seite der Ungleichung kleiner oder gleich 12 ist, ist die größere Rechteckfläche nicht größer als 12. Das bedeutet, dass das Rechteck von A, B, C und D die größte Fläche hat, und die Maße 3 x 4 haben.
Übung 2: Minimale Oberfläche eines Zylinders
Ein Zylinder soll aus einem rechteckigen Stück Blech mit den Maßen 30 cm x 20 cm hergestellt werden, indem das Blech zu einem Zylinder gerollt wird.
Bestimme den Durchmesser und die Höhe des Zylinders, bei denen die Oberfläche minimal ist.
Lösung:
Die Oberfläche des Zylinders kann berechnet werden als:
Oberfläche = 2πr² + 2πrh
wobei r der Radius und h die Höhe des Zylinders sind.
Der Umfang des Zylinders ist gleich dem Umfang des Rechtecks, aus dem er gerollt wird. Das heißt:
2πr = 30
r = 15 / π
Wir können die Oberfläche des Zylinders nun als Funktion von h darstellen:
Oberfläche(h) = 2π(15 / π)² + 2π(15 / π)h = 450 / π + 30h
Um das Minimum von Oberfläche(h) zu finden, müssen wir die Ableitung von Oberfläche(h) bilden und gleich null setzen:
Oberfläche'(h) = 30
30 = 0
Das ist ein Widerspruch. Das heißt, die Ableitung von Oberfläche(h) kann nicht gleich null sein.
Da Oberfläche(h) eine lineare Funktion von h ist, hat sie kein Minimum. Das bedeutet, dass es keine Höhe des Zylinders gibt, bei der die Oberfläche minimal ist.
Das bedeutet auch, dass der Durchmesser des Zylinders keine Rolle spielt, da die Oberfläche des Zylinders nur von der Höhe abhängt.
Wir können jedoch zeigen, dass die Oberfläche des Zylinders minimal ist, wenn der Zylinder aus dem gesamten rechteckigen Stück Blech gerollt wird, ohne dass ein Teil übrig bleibt.
Um das zu zeigen, nehmen wir an, dass der Zylinder einen Teil des rechteckigen Stücks Blech ungerollt lässt. Das heißt, der Zylinder hat eine Höhe h und ein ungerolltes Stück mit der Breite b, wobei b kleiner als 20 cm ist.
Die Oberfläche des Zylinders kann nun als Funktion von h und b dargestellt werden:
Oberfläche(h, b) = 2πr² + 2πrh + 2bh
Wir wissen bereits, dass der Umfang des Zylinders gleich dem Umfang des Rechtecks ist:
2πr = 30
r = 15 / π
Das ungerollte Stück Blech hat eine Länge von 2πr – 20, da der Umfang des Zylinders gleich dem Umfang des Rechtecks ist und das Rechteck eine Breite von 20 cm hat.
Das ungerollte Stück Blech hat eine Fläche von (2πr – 20) x b. Die Höhe des Zylinders ist h = 30 / (2π) – b / (2π).
Wir können die Oberfläche des Zylinders nun als Funktion von b allein darstellen:
Oberfläche(b) = 2π(15 / π)² + 2π(15 / π)h + 2b(30 / (2π) – b / (2π))
Oberfläche(b) = 450 / π + 30(30 / (2π) – b / (2π)) + 30b – b² / π
Um das Minimum von Oberfläche(b) zu finden, müssen wir die Ableitung von Oberfläche(b) bilden und gleich null setzen:
Oberfläche'(b) = 30 – 2b / π = 0
Das heißt, b = 15 / π. Das ungerollte Stück Blech hat also die Breite 15 / π und die Höhe des Zylinders ist h = 30 / (2π) – 15 / (2π) = 15 / (2π).
Das bedeutet, dass der Zylinder mit einem Durchmesser von 30 / π und einer Höhe von 15 / (2π) aus dem gesamten rechteckigen Stück Blech gerollt werden muss, um die minimale Oberfläche zu haben.
Übung 3: Maximales Rechteck unter einer Parabel
Gegeben ist die Parabel y = -x² + 4x + 3.
Bestimme die Maße des größten Rechtecks, das unter der Parabel liegt.
Lösung:
Wir nehmen an, dass das Rechteck eine Breite von b und eine Höhe von h hat und dass es sich unter der Parabel y = -x² + 4x + 3 befindet.
Die linke obere Ecke des Rechtecks hat die Koordinaten (a, -a² + 4a + 3), wobei a die x-Koordinate ist.
Die rechte obere Ecke des Rechtecks hat die Koordinaten (a + b, -a² + 4a + 3).
Die untere linke Ecke des Rechtecks hat die Koordinaten (a, 0).
Die untere rechte Ecke des Rechtecks hat die Koordinaten (a + b, 0).
Die Fläche des Rechtecks kann berechnet werden als:
Fläche = b (-a² + 4a + 3)
Da das Rechteck unter der Parabel liegen muss, müssen seine Eckpunkte die Gleichung der Parabel erfüllen:
-a² + 4a + 3 > 0
-(a + b)² + 4(a + b) + 3 > 0
Wir können diese beiden Ungleichungen umformen und erhalten:
a² – 4a – 3 < 0
(a + b)² – 4(a + b) – 3 < 0
Die erste Ungleichung kann als (a – 1)(a – 3) < 0 geschrieben werden, was bedeutet, dass a zwischen 1 und 3 liegen muss.
Die zweite Ungleichung kann als (a + b – 1)(a + b – 3) < 0 geschrieben werden, was bedeutet, dass a + b zwischen 1 und 3 liegen muss.
Diese Bedingungen können als a < 3 - b und 1 < a < 3 geschrieben werden.
Wir können die Fläche des Rechtecks nun als Funktion von a darstellen:
Fläche(a) = b (-a² + 4a + 3)
Der Bereich, in dem a liegt, ist 1 ≤ a ≤ 3 – b.
Um das Maximum von Fläche(a) zu finden, müssen wir die Ableitung von Fläche(a) bilden und gleich null setzen:
Fläche'(a) = -2ab + 4b = 0
a = 2
Da a zwischen 1 und 3 liegen muss, muss b zwischen 1 und 2 liegen. Das bedeutet, dass das Rechteck eine Breite von 2 und eine Höhe von 1 haben muss.
Das bedeutet, dass das größte Rechteck, das unter der Parabel y = -x² + 4x + 3 liegt, eine Fläche von 2 hat und die Maße 2 x 1 hat.
In der Klasse 10 kommt das Thema Extremwertaufgaben auf den Lehrplan. Dabei geht es darum, mit Hilfe der Differentialrechnung die maximalen oder minimalen Werte einer Funktion zu ermitteln. Doch wie löst man solche Aufgaben eigentlich?
Beispiel einer Extremwertaufgabe
Angenommen, wir haben eine Funktion f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x + 2 gegeben. Wir möchten nun das Maximum und das Minimum dieser Funktion im Intervall [-2,4] bestimmen.
Lösungsweg
- Wir leiten die Funktion einmal ab: f'(x) = 3x^2 – 12x + 9
- Wir setzen die Ableitung gleich null und lösen nach x auf: 3x^2 – 12x + 9 = 0
- Wir erhalten als Lösungen x1 = 1 und x2 = 3
- Wir prüfen nun, ob es sich bei diesen Werten um ein Maximum oder Minimum handelt, indem wir die zweite Ableitung bilden: f“(x) = 6x – 12
- Wir setzen x1 und x2 in die zweite Ableitung ein und erhalten f“(1) = -6 und f“(3) = 6
- Da f“(1) negativ ist, handelt es sich bei x1 um ein Maximum. Da f“(3) positiv ist, handelt es sich bei x2 um ein Minimum.
- Das Maximum der Funktion im Intervall [-2,4] ist f(1) = 6 und das Minimum ist f(3) = -10.
So einfach kann es sein, eine Extremwertaufgabe zu lösen. Natürlich gibt es auch komplexere Aufgabenstellungen, aber mit etwas Übung und dem Verständnis der Grundlagen sollte das Lösen kein Problem mehr darstellen.
Übungsaufgaben
Um das Thema der Extremwertaufgaben besser zu verstehen, empfiehlt es sich, einige Übungsaufgaben zu lösen. Hier sind zwei Aufgaben zur praktischen Anwendung:
| Aufgabe | Lösung |
|---|---|
| Gegeben ist die Funktion f(x) = x^4 – 4x^3 + 6x^2. Bestimme das Maximum und das Minimum im Intervall [-1,3]. | Das Maximum ist f(1) = 2 und das Minimum ist f(3) = -27. |
| Gegeben ist die Funktion f(x) = 2x^3 – 9x^2 + 12x – 3. Bestimme das Maximum und das Minimum im Intervall [0,4]. | Das Maximum ist f(2) = 5 und das Minimum ist f(3) = -6. |
Mit diesen Übungsaufgaben sollte das Lösen von Extremwertaufgaben in der Klasse 10 kein Problem mehr darstellen. Viel Erfolg beim Üben!