Öffnen Lösungen PDF – Quadratische Funktionen
1. Aufgabe: Bestimmen der Nullstellen einer quadratischen Funktion
Gib die Nullstellen der Funktion f(x) = 2x² – 8x + 6 an.
Lösung:Zuerst setzen wir f(x) = 0, um die Nullstellen zu finden:
2x² – 8x + 6 = 0
Jetzt wenden wir die quadratische Formel an:
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
Mit a = 2, b = -8 und c = 6 erhalten wir:
x = (-(-8) ± √((-8)² – 4(2)(6))) / 2(2)
x = (8 ± √(64 – 48)) / 4
x = (8 ± √16) / 4
x1 = 2 und x2 = 1
Die Nullstellen der Funktion sind x1 = 2 und x2 = 1.
2. Aufgabe: Bestimmen des Scheitelpunkts einer Parabel
Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel f(x) = -3x² + 12x – 9.
Lösung:Zuerst bringen wir die Funktion in die Scheitelpunktform:
f(x) = -3(x² – 4x + 3)
f(x) = -3(x² – 4x + 4 – 1)
f(x) = -3((x – 2)² – 1)
f(x) = -3(x – 2)² + 3
Der Scheitelpunkt der Parabel ist (2, 3).
3. Aufgabe: Bestimmen der Schnittpunkte zweier Parabeln
Gegeben sind die Funktionen f(x) = x² – 2x – 3 und g(x) = -x² + 4x – 1. Bestimme die Schnittpunkte der beiden Parabeln.
Lösung:Um die Schnittpunkte der beiden Parabeln zu bestimmen, setzen wir f(x) = g(x) und lösen nach x auf:
x² – 2x – 3 = -x² + 4x – 1
2x² – 6x – 2 = 0
x² – 3x – 1 = 0
Jetzt wenden wir die quadratische Formel an:
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
Mit a = 1, b = -3 und c = -1 erhalten wir:
x = (3 ± √(9 + 4)) / 2
x1 = (3 + √13) / 2 und x2 = (3 – √13) / 2
Die Schnittpunkte der beiden Parabeln sind (x1, f(x1)) und (x2, f(x2)).
f(x1) = (3 + √13)² – 2(3 + √13) – 3 ≈ 0,1
f(x2) = (3 – √13)² – 2(3 – √13) – 3 ≈ -6,1
Die Schnittpunkte der beiden Parabeln sind etwa (1, 0,1) und (-0,3, -6,1).
4. Aufgabe: Bestimmen der Scheitelpunkte zweier Parabeln
Gegeben sind die Funktionen f(x) = -2x² + 8x + 6 und g(x) = 3x² – 12x + 11. Bestimme die Scheitelpunkte der beiden Parabeln.
Lösung:Um den Scheitelpunkt der Parabeln zu bestimmen, bringen wir die Funktionen in die Scheitelpunktform:
f(x) = -2(x² – 4x – 3)
f(x) = -2(x² – 4x + 4 – 7)
f(x) = -2((x – 2)² – 7)
f(x) = -2(x – 2)² + 14
Der Scheitelpunkt der Parabel f(x) ist (2, 14).
g(x) = 3(x² – 4x + 4) – 1
g(x) = 3(x – 2)² – 1
Der Scheitelpunkt der Parabel g(x) ist (2, -1).
Die Scheitelpunkte der beiden Parabeln sind (2, 14) und (2, -1).
5. Aufgabe: Bestimmen des Graphen einer quadratischen Funktion
Zeichne den Graphen der Funktion f(x) = x² – 4x + 3.
Lösung:Um den Graphen der Funktion zu zeichnen, können wir die Nullstellen, den Scheitelpunkt und das Verhalten für große x betrachten.
Zuerst bestimmen wir die Nullstellen:
x² – 4x + 3 = 0
(x – 1)(x – 3) = 0
x1 = 1 und x2 = 3
Die Nullstellen sind x1 = 1 und x2 = 3.
Jetzt bestimmen wir den Scheitelpunkt:
f(x) = (x – 2)² – 1
Der Scheitelpunkt ist (2, -1).
Das Verhalten für große x können wir aus der Form der Funktion ablesen. Da der höchste Exponent von x 2 ist und dieser positiv ist, steigt die Funktion für große x immer weiter an.
Jetzt können wir den Graphen zeichnen:
| x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 8 | 3 | 0 | -1 | 0 | 3 |
Der Graph der Funktion f(x) = x² – 4x + 3 sieht wie folgt aus:
Quadratische Funktionen gehören zum Standardrepertoire des Mathematikunterrichts in der 12. Klasse. Sie sind ein wichtiger Bestandteil der Analysis und werden in vielen Anwendungsgebieten eingesetzt, wie z.B. in der Physik oder der Wirtschaftsmathematik. In diesem Blogbeitrag werden wir uns mit einigen Aufgaben und Lösungen zu quadratischen Funktionen beschäftigen.
Grundlagen der quadratischen Funktionen
Bevor wir zu den Aufgaben kommen, wollen wir kurz die Grundlagen der quadratischen Funktionen wiederholen. Eine quadratische Funktion hat die Form f(x) = ax² + bx + c, wobei a, b und c Konstanten sind. Die Funktion beschreibt eine Parabel, die nach oben oder unten geöffnet sein kann, je nachdem ob a positiv oder negativ ist. Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei (-b/2a, f(-b/2a)).
Aufgaben zu quadratischen Funktionen
1. Gegeben ist die Funktion f(x) = -2x² + 4x + 3. Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel.
Lösung: Der Scheitelpunkt liegt bei (-b/2a, f(-b/2a)). In diesem Fall ist a = -2 und b = 4. Also ist der Scheitelpunkt bei (-4/-4, f(1)) = (1, 5).
2. Gegeben ist die Funktion f(x) = x² – 6x + 8. Bestimme die Nullstellen der Parabel.
Lösung: Die Nullstellen der Parabel kann man durch Lösen der Gleichung f(x) = 0 bestimmen. In diesem Fall ergibt das:
- x² – 6x + 8 = 0
- (x-2)(x-4) = 0
- x = 2 oder x = 4
Also hat die Parabel die Nullstellen x = 2 und x = 4.
Zusammenfassung
In diesem Blogbeitrag haben wir uns mit einigen Aufgaben und Lösungen zu quadratischen Funktionen beschäftigt. Wir haben die Grundlagen der quadratischen Funktionen wiederholt und Aufgaben zur Bestimmung des Scheitelpunkts und der Nullstellen bearbeitet. Wir hoffen, dass dieser Beitrag Ihnen dabei geholfen hat, sich besser mit dem Thema auseinanderzusetzen.
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