Öffnen Lösungen PDF – Übungs Lineare Funktionen
Aufgabe 1
Berechne die Steigung der Geraden durch die Punkte P(2|3) und Q(4|7).
Lösung:
Die Steigung m berechnet sich nach der Formel:
m = (y2 – y1) / (x2 – x1)
Setzt man die Werte aus den gegebenen Punkten ein, erhält man:
m = (7 – 3) / (4 – 2) = 2
Aufgabe 2
Bestimme die Funktionsgleichung einer Geraden, die durch den Punkt P(3|4) verläuft und eine Steigung von 2 hat.
Lösung:
Die Funktionsgleichung y = mx + n einer Geraden mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt n lautet:
y = 2x + n
Um n zu bestimmen, setzt man die Koordinaten des Punktes P in die Funktionsgleichung ein:
4 = 2 * 3 + n
n = -2
Damit lautet die Funktionsgleichung der gesuchten Geraden:
y = 2x – 2
Aufgabe 3
Bestimme den y-Achsenabschnitt und die Nullstelle der Geraden mit der Funktionsgleichung y = -0,5x + 3.
Lösung:
Der y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse. Um ihn zu bestimmen, setzt man x = 0 in die Funktionsgleichung ein:
y = -0,5 * 0 + 3 = 3
Der y-Achsenabschnitt der Geraden liegt also bei y = 3.
Die Nullstelle einer Geraden ist der Schnittpunkt mit der x-Achse, also der Wert von x, für den y = 0 ist. Um die Nullstelle zu berechnen, setzt man y = 0 in die Funktionsgleichung ein:
0 = -0,5x + 3
0,5x = 3
x = 6
Die Nullstelle der Geraden liegt also bei x = 6.
Aufgabe 4
Gegeben ist die Gerade g mit der Funktionsgleichung y = 2x – 1. Bestimme die Steigung und den y-Achsenabschnitt der Geraden senkrecht zur Geraden g, die durch den Punkt P(1|3) verläuft.
Lösung:
Die Steigung einer Geraden, die senkrecht zu einer gegebenen Geraden ist, ist der negative Kehrwert der Steigung der gegebenen Geraden. Die Steigung der gegebenen Geraden g ist mg = 2, also ist die Steigung der gesuchten Geraden:
m = -1/2
Der y-Achsenabschnitt der gesuchten Geraden lässt sich wie in Aufgabe 2 berechnen. Dazu setzt man die Koordinaten des Punktes P in die Funktionsgleichung ein:
3 = -1/2 * 1 + n
n = 7/2
Damit lautet die Funktionsgleichung der gesuchten Geraden:
y = -1/2 x + 7/2
Aufgabe 5
Gegeben ist die Gerade h mit der Funktionsgleichung y = -3x + 5. Bestimme den Schnittpunkt der Geraden h mit der x-Achse.
Lösung:
Der Schnittpunkt einer Geraden mit der x-Achse ist der Wert von x, für den y = 0 ist. Um den Schnittpunkt der Geraden h mit der x-Achse zu berechnen, setzt man y = 0 in die Funktionsgleichung ein:
0 = -3x + 5
3x = 5
x = 5/3
Der Schnittpunkt der Geraden h mit der x-Achse liegt also bei x = 5/3.
Aufgabe 6
Gegeben ist die Gerade k mit der Funktionsgleichung y = 4x – 2. Bestimme den Winkel zwischen der Geraden k und der x-Achse.
Lösung:
Der Winkel zwischen einer Geraden und der x-Achse berechnet sich aus der Steigung der Geraden m nach der Formel:
α = arctan(m)
Setzt man die Steigung der gegebenen Geraden k ein, erhält man:
α = arctan(4) ≈ 75,96°
Der Winkel zwischen der Geraden k und der x-Achse beträgt also etwa 75,96°.
Zusammenfassung
In diesem Übungsteil haben wir verschiedene Aufgaben zu linearen Funktionen in der 8. Klasse bearbeitet. Wir haben die Steigung von Geraden berechnet, Funktionsgleichungen aufgestellt und den Schnittpunkt von Geraden mit der x-Achse bestimmt. Außerdem haben wir den Winkel zwischen Geraden und der x-Achse berechnet. Es ist wichtig, diese Grundlagen zu beherrschen, um auch in höheren Klassenstufen erfolgreich mit Funktionen arbeiten zu können.
In der 8. Klasse werden in Mathe oft Lineare Funktionen behandelt. Hierbei handelt es sich um Funktionen, bei denen die Veränderung der Ausgangsgröße (x) direkt proportional zur Veränderung der Ergebnisgröße (y) ist. Um das Verständnis für Lineare Funktionen zu vertiefen, sind Übungsaufgaben mit Lösungen sehr hilfreich.
Übungsaufgabe 1
Gegeben ist die Funktion f(x) = 2x + 3. Bestimme den Funktionswert für x = 5.
Lösung:
Setzen wir x = 5 in die Funktion ein, erhalten wir f(5) = 2 * 5 + 3 = 13. Somit ist der Funktionswert für x = 5 gleich 13.
Übungsaufgabe 2
Gegeben ist die Funktion g(x) = 4x – 2. Bestimme den x-Wert, für den g(x) = 10 gilt.
Lösung:
Setzen wir g(x) = 10, erhalten wir 4x – 2 = 10. Addieren wir auf beiden Seiten 2, ergibt sich 4x = 12. Durch Teilen durch 4, erhalten wir x = 3. Somit ist der x-Wert, für den g(x) = 10 gilt, gleich 3.
Übungsaufgabe 3
Gegeben sind die Punkte A(2/5) und B(4/11). Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden, die durch die Punkte A und B verläuft.
Lösung:
Zunächst müssen wir die Steigung m der Geraden berechnen. Hierfür nutzen wir die Formel m = (y2 – y1) / (x2 – x1). Einsetzen der Werte ergibt m = (11 – 5) / (4 – 2) = 3. Somit ist die Steigung der Geraden gleich 3.
Um die Funktionsgleichung zu bestimmen, müssen wir nun noch den y-Achsenabschnitt b ermitteln. Hierfür nutzen wir einen der beiden Punkte A oder B und setzen ihn in die allgemeine Form der Geraden y = mx + b ein. Wir wählen den Punkt A.
5 = 3 * 2 + b | -6
-1 = b
Somit ist die Funktionsgleichung der Geraden y = 3x – 1.
Zusammenfassung
Übungsaufgaben zu Linearen Funktionen in der 8. Klasse sind hilfreich, um das Verständnis zu vertiefen. In diesem Beitrag haben wir drei Übungsaufgaben mit Lösungen behandelt. Dabei haben wir unter anderem den Funktionswert und den x-Wert bestimmt sowie die Funktionsgleichung einer Geraden berechnet.
- Bestimme den Funktionswert f(5) für die Funktion f(x) = 2x + 3.
- Bestimme den x-Wert, für den g(x) = 10 gilt, wenn g(x) = 4x – 2 ist.
- Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden, die durch die Punkte A(2/5) und B(4/11) verläuft.
| Übungsaufgabe | Lösung |
|---|---|
| 1. | f(5) = 13 |
| 2. | x = 3 |
| 3. | y = 3x – 1 |