Öffnen Lösungen PDF – Anwendungs Satz Des Pythagoras
Übung 1:
Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Kathete von 5 cm und eine Hypotenuse von 13 cm. Wie lang ist die andere Kathete?
Lösung:
Nach dem Satz des Pythagoras gilt: a² + b² = c²
Wir wissen, dass c = 13 und a = 5.
Also muss b berechnet werden:
b² = c² – a²
b² = 169 – 25
b² = 144
b = 12
Die andere Kathete ist also 12 cm lang.
Übung 2:
Ein Dreieck hat eine Seite von 8 cm, eine Seite von 15 cm und eine Hypotenuse von 17 cm. Ist das Dreieck rechtwinklig?
Lösung:
Nach dem Satz des Pythagoras gilt: a² + b² = c²
Wir wissen, dass c = 17 und a = 8.
Also muss b berechnet werden:
b² = c² – a²
b² = 289 – 64
b² = 225
b = 15
Nun müssen wir prüfen, ob die Seite von 15 cm die Hypotenuse ist.
Da die Hypotenuse 17 cm lang ist, ist dies nicht der Fall.
Das Dreieck ist also nicht rechtwinklig.
Übung 3:
Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Hypotenuse von 10 cm und eine Kathete von 6 cm. Wie lang ist die andere Kathete?
Lösung:
Nach dem Satz des Pythagoras gilt: a² + b² = c²
Wir wissen, dass c = 10 und a = 6.
Also muss b berechnet werden:
b² = c² – a²
b² = 100 – 36
b² = 64
b = 8
Die andere Kathete ist also 8 cm lang.
Übung 4:
Ein Rechteck hat eine Länge von 12 cm und eine Breite von 9 cm. Wie lang ist die Diagonale des Rechtecks?
Lösung:
Nach dem Satz des Pythagoras gilt: a² + b² = c²
Wir wissen, dass a = 12 und b = 9.
Also muss c berechnet werden:
c² = a² + b²
c² = 144 + 81
c² = 225
c = 15
Die Diagonale des Rechtecks ist also 15 cm lang.
Übung 5:
Ein gleichschenkliges Dreieck hat eine Schenkellänge von 6 cm. Wie lang ist die Hypotenuse?
Lösung:
Nach dem Satz des Pythagoras gilt: a² + b² = c²
Da es sich bei einem gleichschenkligen Dreieck um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, wissen wir, dass die Hypotenuse die Seite mit der längsten Länge ist.
Die Hypotenuse ist also gleich der Länge der Schenkellänge, multipliziert mit dem Faktor √2.
c = 6 * √2
c ≈ 8,48
Die Hypotenuse ist also etwa 8,48 cm lang.
Übung 6:
Ein Trapez hat eine Höhe von 5 cm und die beiden parallelen Seiten haben eine Länge von 6 cm und 10 cm. Wie lang ist die Diagonale des Trapezes?
Lösung:
Wir können das Trapez in ein rechtwinkliges Dreieck und ein Dreieck mit der Grundseite 4 cm aufteilen.
Das rechtwinklige Dreieck hat eine Kathete von 5 cm und eine Hypotenuse von 4 cm.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt: a² + b² = c²
Wir wissen, dass c = 4 und a = 5.
Also muss b berechnet werden:
b² = c² – a²
b² = 16 – 25
b² = -9
Da die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert ist, ist das Dreieck nicht lösbar.
Das andere Dreieck hat eine Seite von 5 cm und eine Seite von 2 cm.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt: a² + b² = c²
Wir wissen, dass a = 5 und b = 2.
Also muss c berechnet werden:
c² = a² + b²
c² = 25 + 4
c² = 29
c ≈ 5,39
Die Diagonale des Trapezes ist also etwa 5,39 cm lang.
Übung 7:
Ein Kreis hat einen Radius von 8 cm. Wie lang ist der Umfang des Kreises?
Lösung:
Der Umfang eines Kreises ist gleich 2 * π * Radius.
Wir wissen, dass der Radius 8 cm lang ist.
π ≈ 3,14
Umfang = 2 * 3,14 * 8
Umfang ≈ 50,24
Der Umfang des Kreises ist also etwa 50,24 cm lang.
Übung 8:
Ein Quadrat hat eine Seitenlänge von 7 cm. Wie lang ist die Diagonale des Quadrats?
Lösung:
Nach dem Satz des Pythagoras gilt: a² + b² = c²
In einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang, also wissen wir, dass a = b = 7.
Also muss c berechnet werden:
c² = a² + b²
c² = 49 + 49
c² = 98
c ≈ 9,90
Die Diagonale des Quadrats ist also etwa 9,90 cm lang.
Übung 9:
Ein gleichseitiges Dreieck hat eine Seitenlänge von 9 cm. Wie lang ist die Höhe des Dreiecks?
Lösung:
Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks teilt das Dreieck in zwei gleichschenklige Dreiecke.
Wir können also den Satz des Pythagoras auf ein dieser Dreiecke anwenden.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt: a² + b² = c²
Das gleichschenklige Dreieck hat eine Kathete von 4,5 cm und eine Hypotenuse von 9 cm.
Wir wissen, dass c = 9 und a = 4,5.
Also muss b berechnet werden:
b² = c² – a²
b² = 81 – 20,25
b² ≈ 60,75
b ≈ 7,79
Die Höhe des Dreiecks ist also etwa 7,79 cm lang.
Übung 10:
Ein Parallelogramm hat eine Höhe von 10 cm und eine Seite von 8 cm. Wie lang ist die Diagonale des Parallelogramms?
Lösung:
Wir können das Parallelogramm in ein rechtwinkliges Dreieck und ein Dreieck mit der Grundseite 2 cm aufteilen.
Das rechtwinklige Dreieck hat eine Kathete von 10 cm und eine Hypotenuse von 8 cm.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt: a² + b² = c²
Wir wissen, dass c = 8 und a = 10.
Also muss b berechnet werden:
b² = c² – a²
b² = 64 – 100
b² = -36
Da die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert ist, ist das Dreieck nicht lösbar.
Das andere Dreieck hat eine Seite von 10 cm und eine Seite von 2 cm.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt: a² + b² = c²
Wir wissen, dass a = 10 und b = 2.
Also muss c berechnet werden:
c² = a² + b²
c² = 100 + 4
c² = 104
c ≈ 10,20
Die Diagonale des Parallelogramms ist also etwa 10,20 cm lang.
Der Satz des Pythagoras ist ein wichtiger mathematischer Satz, der in vielen Bereichen Anwendung findet. In Klasse 9 werden Schülerinnen und Schüler mit Anwendungsaufgaben des Satzes des Pythagoras konfrontiert. In diesem Blogbeitrag werden einige Beispiele für Anwendungsaufgaben des Satzes des Pythagoras in Klasse 9 vorgestellt und Lösungen dazu gegeben.
Beispiel 1: Berechnung der Hypotenuse
Gegeben sind die Katheten a = 4 cm und b = 3 cm. Gesucht ist die Länge der Hypotenuse c.
Zunächst muss der Satz des Pythagoras angewendet werden: c2 = a2 + b2
Einsetzen der Werte ergibt: c2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25
Durch Wurzelziehen erhält man: c = 5 cm
Die Länge der Hypotenuse beträgt also 5 cm.
Beispiel 2: Berechnung einer Kathete
Gegeben sind die Hypotenuse c = 10 cm und eine Kathete a = 6 cm. Gesucht ist die Länge der anderen Kathete b.
Wieder muss der Satz des Pythagoras angewendet werden: c2 = a2 + b2
Umgestellt nach b ergibt sich: b2 = c2 – a2
Einsetzen der Werte ergibt: b2 = 102 – 62 = 100 – 36 = 64
Durch Wurzelziehen erhält man: b = 8 cm
Die Länge der gesuchten Kathete beträgt also 8 cm.
Beispiel 3: Berechnung der Entfernung zwischen zwei Punkten
Gegeben sind die Koordinaten der Punkte A(2|3) und B(5|7). Gesucht ist die Entfernung zwischen den beiden Punkten.
Zunächst muss die Differenz der x-Koordinaten und die Differenz der y-Koordinaten berechnet werden: Δx = 5 – 2 = 3 und Δy = 7 – 3 = 4
Dann kann der Satz des Pythagoras angewendet werden: c2 = Δx2 + Δy2
Einsetzen der Werte ergibt: c2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25
Durch Wurzelziehen erhält man: c = 5
Die Entfernung zwischen den Punkten A und B beträgt also 5 Einheiten.
Zusammenfassung
In diesem Blogbeitrag wurden einige Beispiele für Anwendungsaufgaben des Satzes des Pythagoras in Klasse 9 vorgestellt. Es wurde gezeigt, wie man die Länge der Hypotenuse, einer Kathete oder die Entfernung zwischen zwei Punkten berechnet. Durch das Anwenden des Satzes des Pythagoras lassen sich viele geometrische Problemstellungen lösen.
- Berechnung der Hypotenuse
- Berechnung einer Kathete
- Berechnung der Entfernung zwischen zwei Punkten
| Beispiel | Gegebene Größen | Gesuchte Größe | Lösung |
|---|---|---|---|
| 1 | a = 4 cm b = 3 cm | c | c = 5 cm |
| 2 | a = 6 cm c = 10 cm | b | b = 8 cm |
| 3 | A(2|3) B(5|7) | Entfernung zwischen A und B | 5 Einheiten |