Öffnen Lösungen PDF – Satz Des Thales
Übung 1
Gegeben sind die Punkte A(2|3) und B(8|9). Zeige, dass die Strecke AB eine Mittellinie des Dreiecks PQR ist.
Lösung:
Zunächst müssen wir die Koordinaten des dritten Dreieckspunkts P berechnen, der auf der Geraden AB liegt und von Q symmetrisch zu P ist.
Der Mittelpunkt der Strecke AB ist M((2+8)/2 | (3+9)/2) = M(5|6).
Die Steigung der Geraden AB beträgt m = (9-3)/(8-2) = 6/6 = 1.
Die Geradengleichung lautet somit y = x + b. Um b zu berechnen, setzen wir die Koordinaten von einem der Punkte ein:
3 = 2 + b => b = 1.
Die Geradengleichung lautet also y = x + 1.
Der Punkt Q hat die Koordinaten Q(8|2), da er auf der x-Achse liegt und von P symmetrisch zu M ist.
Die Gerade durch M und Q hat die Steigung m‘ = (2-6)/(8-5) = -4/3.
Die Geradengleichung lautet somit y = -4/3 x + b‘. Um b‘ zu berechnen, setzen wir die Koordinaten von M ein:
6 = -4/3 * 5 + b‘ => b‘ = 26/3.
Die Geradengleichung lautet also y = -4/3 x + 26/3.
Die Schnittpunkte der Geraden AB und MQ mit der y-Achse sind A'(0|3) und Q'(0|2).
Da die Mittelsenkrechte durch AB auch durch M geht, hat sie die Geradengleichung y = -1/1(x-5) + 6 = -x + 11.
Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der y-Achse ist M'(0|11).
Die Schnittpunkte dieser Geraden mit MQ und QR sind N(2|9) und N'(8|3).
Damit haben wir gezeigt, dass die Strecke AB eine Mittellinie des Dreiecks PQR ist.
Übung 2
Gegeben sind die Punkte A(-2|-8) und B(10|2). Bestimme die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke AB.
Lösung:
Der Mittelpunkt der Strecke AB hat die Koordinaten M((10-2)/2 | (2-8)/2) = M(4|-3).
Damit haben wir die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke AB bestimmt.
Übung 3
Gegeben sind die Punkte A(-5|6), B(5|6) und C(0|-12). Zeige, dass die Strecke AB parallel zur x-Achse ist.
Lösung:
Die Steigung der Strecke AB ist m = (6-6)/(5-(-5)) = 0/10 = 0.
Damit ist die Strecke AB parallel zur x-Achse.
Übung 4
Gegeben sind die Punkte A(-2|4), B(4|8) und C(-4|12). Zeige, dass das Dreieck ABC ein gleichschenkliges Dreieck ist.
Lösung:
Die Strecken AB und AC haben die Länge d = √( (4-(-2))^2 + (8-4)^2 ) = √( 6^2 + 4^2 ) = 2√10.
Die Strecke BC hat die Länge d‘ = √( (8-12)^2 + (4-(-2))^2 ) = √( 4^2 + 6^2 ) = 2√10.
Da die Strecken AB und AC gleich lang sind, ist das Dreieck ABC ein gleichschenkliges Dreieck.
Übung 5
Gegeben sind die Punkte A(2|6) und B(8|2). Zeige, dass die Strecke AB eine Diagonale des Parallelogramms PQRS ist.
Lösung:
Der Punkt P hat die Koordinaten P(2+8-2|6+2-6) = P(8|2).
Die Strecke PQ hat dieselbe Länge und dieselbe Steigung wie die Strecke AB, da sie parallel zu dieser verläuft.
Die Steigung der Geraden PQ beträgt m = (2-6)/(8-2) = -4/6 = -2/3.
Die Geradengleichung lautet somit y = -2/3 x + b. Um b zu berechnen, setzen wir die Koordinaten von P ein:
2 = -2/3 * 8 + b => b = 14/3.
Die Geradengleichung lautet also y = -2/3 x + 14/3.
Der Punkt Q hat die Koordinaten Q(8+6-2|2+4-6) = Q(12|0).
Die Strecke QR hat dieselbe Länge und dieselbe Steigung wie die Strecke PQ, da sie parallel zu dieser verläuft.
Die Geradengleichung lautet somit y = -2/3 x + b‘. Um b‘ zu berechnen, setzen wir die Koordinaten von Q ein:
0 = -2/3 * 12 + b‘ => b‘ = 8.
Die Geradengleichung lautet also y = -2/3 x + 8.
Die Schnittpunkte der Geraden PQ und RS mit der y-Achse sind P'(0|14/3) und R'(0|8).
Da AB eine Diagonale des Parallelogramms PQRS ist, teilt sie dieses in zwei gleich große Dreiecke auf. Die Diagonalen eines Parallelogramms halbieren einander, deshalb ist die Länge der Strecke S(R’P‘) gleich der Länge der Strecke AB:
d = √( (8-14/3)^2 + (0-0)^2 ) = √( 4^2 + (14/3)^2 ) = √( 16 + 196/9 ) = √( 340/9 ) = 2√(85)/3.
Die Länge der Strecke AB ist d‘ = √( (8-2)^2 + (2-6)^2 ) = √( 6^2 + 4^2 ) = 2√10.
Damit haben wir gezeigt, dass die Strecke AB eine Diagonale des Parallelogramms PQRS ist.
Was ist der Satz des Thales?
Der Satz des Thales ist ein mathematischer Lehrsatz, der besagt, dass in einem Halbkreis der Winkel an der Kreislinie immer ein rechter Winkel ist. Das bedeutet, dass die beiden Endpunkte der Kreislinie und der Mittelpunkt des Halbkreises auf einer Geraden liegen.
Aufgaben zum Satz des Thales für die 9. Klasse
Aufgabe 1
Gegeben ist ein Halbkreis mit dem Radius r = 8 cm. Berechne die Länge des Halbkreisbogens.
Lösung:
Der Halbkreisbogen ist die Hälfte des Umfangs des Kreises, also:
U = 2πr
U = 2π(8cm)
U = 16πcm
Die Länge des Halbkreisbogens beträgt also 16πcm.
Aufgabe 2
Gegeben ist ein Dreieck ABC mit den Punkten A(0|0), B(4|0) und C(0|3). Zeige, dass das Dreieck ABC ein rechtwinkliges Dreieck ist, indem du den Satz des Thales anwendest.
Lösung:
Der Punkt A liegt auf der x-Achse und der Punkt C auf der y-Achse. Der Punkt B hat die Koordinaten (4|0), also liegt er auf der x-Achse und hat den gleichen y-Wert wie A. Das bedeutet, dass AC die Höhe des Dreiecks ist und BC die Basis.
Der Kreis um den Mittelpunkt M(2|1,5) mit dem Radius r = 2,5cm geht durch die Punkte A, B und C.
Nun müssen wir zeigen, dass das Dreieck ABC ein rechtwinkliges Dreieck ist. Dazu müssen wir nachweisen, dass der Winkel zwischen AC und BC ein rechter Winkel ist. Nach dem Satz des Thales liegt der Mittelpunkt M des Kreises auf der Geraden durch die Punkte A und C. Das bedeutet, dass der Winkel zwischen AC und der x-Achse ein rechter Winkel ist. Analog liegt der Mittelpunkt M auch auf der Geraden durch die Punkte B und C, also ist der Winkel zwischen BC und der y-Achse auch ein rechter Winkel. Somit ist das Dreieck ABC ein rechtwinkliges Dreieck.
Zusammenfassung
Der Satz des Thales ist ein wichtiger mathematischer Lehrsatz, der besagt, dass in einem Halbkreis der Winkel an der Kreislinie immer ein rechter Winkel ist. In diesem Beitrag wurden zwei Aufgaben zum Satz des Thales für die 9. Klasse vorgestellt und gelöst.