Öffnen Lösungen PDF – Kurvendiskussion
1. Bestimme die Ableitungen der Funktion f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x – 1.
Lösung:
f'(x) = 3x^2 – 6x + 2
f“(x) = 6x – 6
2. Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x) = x^4 – 16x^2 + 64.
Lösung:
f(x) = (x^2 – 8)^2
Nullstellen: x1 = -2√2, x2 = 2√2
3. Bestimme die Wendepunkte der Funktion f(x) = x^3 – 3x.
Lösung:
f'(x) = 3x^2 – 3
f“(x) = 6x
Wendepunkt: (0,0)
4. Bestimme die Extremstellen der Funktion f(x) = x^4 – 4x^3.
Lösung:
f'(x) = 4x^3 – 12x^2
f“(x) = 12x^2 – 24x
Extremstellen: x1 = 0, x2 = 2
5. Bestimme die Asymptoten der Funktion f(x) = (x^2 + 1)/(x – 1).
Lösung:
Vertikale Asymptote: x = 1
Horizontale Asymptote: y = x
6. Bestimme die Grenzwerte der Funktion f(x) = (x^3 – 8)/(x – 2) für x gegen 2.
Lösung:
lim x->2 f(x) = lim x->2 (x^2 + 2x + 4) = 12
Erklärung der Übungen
1. Bei dieser Übung geht es darum, die Ableitungen einer Funktion zu bestimmen. Die Ableitungen sind wichtige Werkzeuge in der Kurvendiskussion, da sie Informationen über die Steigung und Krümmung der Funktion liefern.
2. In dieser Übung geht es darum, die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen. Die Nullstellen sind die Punkte, an denen die Funktion die x-Achse schneidet und somit die y-Koordinate 0 hat.
3. Bei dieser Übung geht es darum, die Wendepunkte einer Funktion zu bestimmen. Wendepunkte sind die Punkte, an denen die Krümmung der Funktion wechselt, also von konkav nach konvex oder umgekehrt.
4. In dieser Übung geht es darum, die Extremstellen einer Funktion zu bestimmen. Extremstellen sind die Punkte, an denen die Funktion ein Maximum oder Minimum hat.
5. Bei dieser Übung geht es darum, die Asymptoten einer Funktion zu bestimmen. Asymptoten sind Geraden oder Kurven, die die Funktion immer näher kommen, aber sie niemals schneiden.
6. In dieser Übung geht es darum, den Grenzwert einer Funktion für einen bestimmten x-Wert zu bestimmen. Der Grenzwert gibt an, zu welchem Wert sich die Funktion annähert, wenn man x immer weiter an den gegebenen Wert heranführt.
Zusammenfassung
Die Kurvendiskussion ist ein wichtiger Bestandteil der Analysis und beschäftigt sich damit, Funktionen auf ihre Eigenschaften hin zu untersuchen. Dazu gehören unter anderem die Ableitungen, Nullstellen, Wendepunkte, Extremstellen und Asymptoten einer Funktion. In den Übungen wurden verschiedene Aufgaben zu diesen Themen gestellt, die es zu lösen und zu erklären galt.
- Bestimme die Ableitungen der Funktion f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x – 1.
- Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x) = x^4 – 16x^2 + 64.
- Bestimme die Wendepunkte der Funktion f(x) = x^3 – 3x.
- Bestimme die Extremstellen der Funktion f(x) = x^4 – 4x^3.
- Bestimme die Asymptoten der Funktion f(x) = (x^2 + 1)/(x – 1).
- Bestimme die Grenzwerte der Funktion f(x) = (x^3 – 8)/(x – 2) für x gegen 2.
| Aufgabe | Lösung |
|---|---|
| Bestimme die Ableitungen der Funktion f(x) = 2x^3 – 6x^2 + 4x – 2. | f'(x) = 6x^2 – 12x + 4 |
| Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x) = x^3 – 3x. | x1 = 0, x2 = √3, x3 = -√3 |
| Bestimme die Wendepunkte der Funktion f(x) = x^4 – 4x^2. | Wendepunkt: (0,0) |
| Bestimme die Extremstellen der Funktion f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x. | x1 = 0, x2 = 2/3 |
| Bestimme die Asymptoten der Funktion f(x) = (2x^2 – 5x + 3)/(x – 2). | Vertikale Asymptote: x = 2, Horizontale Asymptote: y = 2x – 1 |
| Bestimme den Grenzwert der Funktion f(x) = (x^2 – 4)/(x – 2) für x gegen 2. | lim x->2 f(x) = 4 |
Die Kurvendiskussion ist ein wichtiges Thema in der Mathematik und wird in der 10. Klasse behandelt. Sie beinhaltet die Analyse von Funktionen, um ihre Eigenschaften und Verläufe zu bestimmen. In diesem Blogbeitrag möchten wir Ihnen einige Aufgaben mit Lösungen zur Kurvendiskussion für die 10. Klasse vorstellen.
Grundlagen der Kurvendiskussion
Zunächst müssen Sie die Grundlagen der Kurvendiskussion verstehen. Dazu gehören die Ableitungen der Funktionen, die Extremstellen, Wendepunkte, Monotonie und Krümmung der Funktionen.
Ein Beispiel für eine Funktion ist f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x + 1.
Die Ableitungen der Funktion sind:
f'(x) = 3x^2 – 6x + 2
f“(x) = 6x – 6
Die Extremstellen der Funktion können durch Nullsetzen der Ableitung f'(x) gefunden werden. Dazu lösen wir die Gleichung 3x^2 – 6x + 2 = 0. Die Lösungen sind x1 = 0,68 und x2 = 1,32.
Die Wendepunkte der Funktion können durch Nullsetzen der zweiten Ableitung f“(x) gefunden werden. Dazu lösen wir die Gleichung 6x – 6 = 0. Die Lösung ist x = 1.
Die Monotonie der Funktion kann durch das Zeichnen der Ableitung f'(x) bestimmt werden. Wenn f'(x) positiv ist, ist die Funktion monoton steigend. Wenn f'(x) negativ ist, ist die Funktion monoton fallend. In unserem Beispiel ist f'(0) = 2 und f'(2) = -4, daher ist die Funktion von x = 0 bis x = 0,68 monoton steigend und von x = 0,68 bis x = 2 monoton fallend.
Die Krümmung der Funktion kann durch das Zeichnen der zweiten Ableitung f“(x) bestimmt werden. Wenn f“(x) positiv ist, ist die Funktion nach oben gekrümmt. Wenn f“(x) negativ ist, ist die Funktion nach unten gekrümmt. In unserem Beispiel ist f“(1) = 0, daher hat die Funktion an der Stelle x = 1 einen Wendepunkt.
Aufgaben zur Kurvendiskussion
- Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktion f(x) = 2x^3 – 6x^2 + 4x + 5.
- Finden Sie die Extremstellen der Funktion g(x) = x^2 + 3x – 2.
- Bestimmen Sie die Wendepunkte der Funktion h(x) = -x^3 + 3x^2 – 3x + 1.
- Untersuchen Sie die Monotonie und Krümmung der Funktion i(x) = 4x^3 – 12x^2 + 8x + 2.
Lösungen
- f'(x) = 6x^2 – 12x + 4
- Die Lösungen der Gleichung 2x + 3 = 0 sind x1 = -1,5 und x2 = 0,67.
- Die Lösung der Gleichung -3x^2 + 6x – 3 = 0 ist x = 1.
- Die Funktion ist von x = -∞ bis x = 1 monoton fallend und von x = 1 bis x = ∞ monoton steigend. An der Stelle x = 1 hat die Funktion einen Wendepunkt und ist nach unten gekrümmt bis x = 1 und nach oben gekrümmt ab x = 1.
Wir hoffen, dass Ihnen dieser Blogbeitrag zur Kurvendiskussion und den Aufgaben mit Lösungen für die 10. Klasse weitergeholfen hat. Wenn Sie weitere Fragen haben, zögern Sie nicht, uns zu kontaktieren.
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| Max Mustermann | [email protected] |
| Erika Musterfrau | [email protected] |