Öffnen Lösungen PDF – Quadratische Funktionen
1. Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f(x) = x² – 4x + 3
Um die Nullstellen der Funktion zu bestimmen, setzen wir f(x) gleich Null:
x² – 4x + 3 = 0
Wir können diese quadratische Gleichung nun mit der pq-Formel lösen:
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
Wobei a, b und c die Koeffizienten der quadratischen Gleichung sind. In unserem Fall:
a = 1, b = -4, c = 3
Einsetzen in die pq-Formel:
x = (-(-4) ± √((-4)² – 4 · 1 · 3)) / 2 · 1
x = (4 ± √(16 – 12)) / 2
x1 = 1, x2 = 3
Die Nullstellen der Funktion sind x1 = 1 und x2 = 3.
Lösung:
Die Nullstellen der Funktion f(x) = x² – 4x + 3 sind x1 = 1 und x2 = 3.
2. Bestimme den Scheitelpunkt der quadratischen Funktion g(x) = -2x² + 8x – 5
Um den Scheitelpunkt der Funktion zu bestimmen, verwenden wir die Scheitelpunktform:
g(x) = a(x – h)² + k
Wobei a der Koeffizient vor dem quadratischen Term ist und (h, k) die Koordinaten des Scheitelpunkts sind.
In unserem Fall:
a = -2
h = -b/2a = -8/-4 = 2
Um k zu berechnen, setzen wir den x-Wert des Scheitelpunkts in die Funktion ein:
g(2) = -2 · 2² + 8 · 2 – 5 = -8 + 16 – 5 = 3
Das bedeutet, der Scheitelpunkt von g(x) ist (2, 3).
Lösung:
Der Scheitelpunkt der Funktion g(x) = -2x² + 8x – 5 ist (2, 3).
3. Skizziere den Graphen der Funktion h(x) = x² – 6x + 8
Um den Graphen der Funktion zu skizzieren, können wir die Nullstellen, den Scheitelpunkt und das Verhalten für große x-Werte betrachten.
Wir haben bereits in Übung 1 die Nullstellen der Funktion bestimmt:
x1 = 2, x2 = 4
Um den Scheitelpunkt zu finden, können wir die Scheitelpunktform verwenden:
h(x) = a(x – h)² + k
In unserem Fall:
a = 1, h = -b/2a = 6/2 = 3
Um k zu berechnen, setzen wir den x-Wert des Scheitelpunkts in die Funktion ein:
h(3) = 3² – 6 · 3 + 8 = -1
Das bedeutet, der Scheitelpunkt von h(x) ist (3, -1).
Das Verhalten für große x-Werte können wir aus dem Vorzeichen des quadratischen Terms ableiten:
Wenn x sehr groß wird, dominiert der Term x² und die Funktion wird immer größer. Wenn x sehr klein wird, dominiert der Term -6x und die Funktion wird immer kleiner.
Um den Graphen zu skizzieren, können wir diese Informationen nutzen und den Scheitelpunkt sowie die Nullstellen einzeichnen:
| x | -∞ | 2 | 3 | 4 | ∞ |
| h(x) | + | 0 | -1 | 0 | + |
Der Graph sieht ungefähr so aus:
In diesem Artikel haben wir verschiedene Übungen zu quadratischen Funktionen und deren Lösungen in der 10. Klasse vorgestellt. Wir haben gelernt, wie man die Nullstellen und den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion berechnet und den Graphen skizziert. Diese Fähigkeiten sind wichtig, um quadratische Funktionen zu verstehen und in der Mathematik erfolgreich zu sein.
In der 10. Klasse beschäftigen sich Schülerinnen und Schüler intensiv mit der Mathematik. Ein wichtiger Bestandteil des Lehrplans sind quadratische Funktionen. Diese Funktionen werden in vielen Bereichen der Mathematik und Physik verwendet. Im Folgenden werden einige Aufgaben mit Lösungen zu quadratischen Funktionen vorgestellt.
Was sind quadratische Funktionen?
Quadratische Funktionen sind Funktionen, die sich in der Form f(x) = ax² + bx + c darstellen lassen. Dabei sind a, b und c Konstanten und x ist eine Variable. Der Graph einer quadratischen Funktion bildet eine Parabel.
Aufgaben zu quadratischen Funktionen
- Bestimme die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion f(x) = 2x² + 4x + 3.
- Gegeben ist die quadratische Funktion f(x) = -3x² + 6x – 2. Bestimme die Nullstellen der Funktion.
- Die quadratische Funktion f(x) = x² – 4x + 5 hat einen Scheitelpunkt bei (2,1). Bestimme die Lage der Parabel zur x-Achse.
Lösungen zu den Aufgaben
- Die Scheitelpunktform lautet f(x) = 2(x+1)² + 1.
- Die Nullstellen der Funktion sind x1 = -1/2 und x2 = 2.
- Die Parabel liegt oberhalb der x-Achse, da a = 1 ist.
Quadratische Funktionen sind ein wichtiger Bestandteil des Mathematikunterrichts in der 10. Klasse. Mit den hier vorgestellten Aufgaben können Schülerinnen und Schüler ihr Wissen vertiefen und ihr Verständnis für quadratische Funktionen verbessern.
| Aufgabe | Lösung |
|---|---|
| 1 | f(x) = 2(x+1)² + 1 |
| 2 | x1 = -1/2 und x2 = 2 |
| 3 | Die Parabel liegt oberhalb der x-Achse, da a = 1 ist. |