Öffnen Lösungen PDF – Stochastik
1. Ein Würfel wird zweimal hintereinander geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal eine 6 gewürfelt wird?
Lösung:
Die Wahrscheinlichkeit, dass keine 6 gewürfelt wird, beträgt:
5/6 * 5/6 = 25/36
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal eine 6 gewürfelt wird, beträgt:
1 – 25/36 = 11/36
2. In einer Schüssel befinden sich 6 rote und 4 blaue Kugeln. Es werden nacheinander 3 Kugeln gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 3 Kugeln rot sind?
Lösung:
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel rot ist, beträgt 6/10.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel rot ist, beträgt 5/9.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die dritte Kugel rot ist, beträgt 4/8.
Die Gesamtwahrscheinlichkeit beträgt:
6/10 * 5/9 * 4/8 = 1/15
Erklärung:
Stochastik ist der Zweig der Mathematik, der sich mit der Wahrscheinlichkeit, der Statistik und der Datenanalyse befasst. In der Stochastik geht es darum, Wahrscheinlichkeiten zu berechnen und zu interpretieren.
Übung:
Ein Glücksrad hat 8 gleich große Felder. Davon sind 6 grün und 2 rot. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Drehen des Rades ein grünes Feld getroffen wird?
Lösung:
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein grünes Feld getroffen wird, beträgt:
6/8 = 3/4
- Ein Würfel wird dreimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau zweimal eine ungerade Zahl gewürfelt wird?
- Ein Kartenspiel enthält 32 Karten. Davon sind 8 Karten Herz. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Ziehen von 5 Karten mindestens eine Herz dabei ist?
Lösung:
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf eine ungerade Zahl gewürfelt wird, beträgt 3/6 = 1/2.
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf eine gerade Zahl gewürfelt wird, beträgt 3/6 = 1/2.
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau zweimal eine ungerade Zahl gewürfelt wird, beträgt:
(1/2 * 1/2 * 1/2) * 3 = 3/8
Lösung:
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Ziehen einer Karte eine Herz dabei ist, beträgt 8/32 = 1/4.
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Ziehen von 5 Karten keine Herz dabei ist, beträgt:
(24/32 * 23/31 * 22/30 * 21/29 * 20/28) = 0,2857
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Herz dabei ist, beträgt:
1 – 0,2857 = 0,7143
| Bezeichnung | Symbol | Beschreibung |
|---|---|---|
| Stichprobe | n | Teilmenge einer Population |
| Population | N | Gesamtheit aller möglichen Elemente |
| Erwartungswert | E(X) | Durchschnittlicher Wert einer Zufallsvariable |
| Varianz | Var(X) | Maß für die Streuung einer Zufallsvariable |
| Standardabweichung | σ | Wurzel der Varianz |
Die Stochastik ist ein spannendes und faszinierendes Gebiet der Mathematik, das sich mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der Statistik befasst. In der Klasse 11 werden Schülerinnen und Schüler oft mit Stochastik Aufgaben konfrontiert, die sie lösen müssen.
Was sind Stochastik Aufgaben?
Stochastik Aufgaben befassen sich mit der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten und der Analyse von statistischen Daten. Dabei müssen Schülerinnen und Schüler verschiedene Methoden anwenden, um die Aufgaben zu lösen.
Beispiel für eine Stochastik Aufgabe in Klasse 11
Eine Klasse besteht aus 20 Schülerinnen und Schülern. 10 von ihnen haben einen Hund. Wenn ein Schüler zufällig ausgewählt wird, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er einen Hund hat?
Um diese Aufgabe zu lösen, muss man zunächst die Anzahl der Schülerinnen und Schüler berechnen, die einen Hund haben. Das sind 10 von 20 Schülerinnen und Schülern, also 50%. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler mit Hund ausgewählt wird, beträgt also 50%.
Stochastik Aufgaben mit Lösungen Klasse 11
Um sich auf Stochastik Aufgaben in Klasse 11 vorzubereiten, ist es wichtig, Übungsaufgaben zu lösen und die Lösungen zu verstehen. Hier sind einige Beispiele für Stochastik Aufgaben mit Lösungen:
- Ein Würfel wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Male eine 6 gewürfelt wird?
- In einer Klasse sind 30 Schülerinnen und Schüler. 15 davon haben eine Brille. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer zufälligen Auswahl von 3 Schülerinnen und Schülern genau 2 eine Brille haben?
Lösung: Die Wahrscheinlichkeit, dass beim ersten Wurf eine 6 fällt, beträgt 1/6. Beim zweiten Wurf ist die Wahrscheinlichkeit ebenfalls 1/6. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten, multipliziert man: 1/6 x 1/6 = 1/36. Die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal eine 6 gewürfelt wird, beträgt also 1/36.
Lösung: Zunächst muss man die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein Schüler eine Brille hat: 15/30 = 1/2. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler keine Brille hat, beträgt dementsprechend 1/2.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie sich die Auswahl von 3 Schülerinnen und Schülern zusammensetzen kann. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass genau 2 von ihnen eine Brille haben, müssen wir die Wahrscheinlichkeit für jede dieser Möglichkeiten berechnen und addieren.
Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Schüler eine Brille hat, der zweite Schüler eine Brille hat und der dritte Schüler keine Brille hat, beträgt:
1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8
Da es drei Möglichkeiten gibt, wer von den drei Schülerinnen und Schülern eine Brille hat und wer nicht, multiplizieren wir diese Wahrscheinlichkeit mit 3:
3 x 1/8 = 3/8
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer zufälligen Auswahl von 3 Schülerinnen und Schülern genau 2 eine Brille haben, beträgt also 3/8.
Fazit
Stochastik Aufgaben in Klasse 11 können anspruchsvoll sein, erfordern aber nur ein grundlegendes Verständnis von Wahrscheinlichkeiten und Statistik. Mit Übung und der Anwendung von verschiedenen Methoden können Schülerinnen und Schüler diese Aufgaben erfolgreich lösen.
| Stichworte: | Stochastik, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik, Klasse 11, Übungsaufgaben, Lösungen |