Öffnen Lösungen PDF – Kurvendiskussion
Übung 1: Bestimmung der Symmetrie einer Funktion
Gegeben ist die Funktion f(x) = x^4 – 4x^2 + 3. Bestimme, ob die Funktion achsensymmetrisch, punktsymmetrisch oder weder noch ist.
Lösung:
Um die Symmetrie einer Funktion zu bestimmen, müssen wir die Funktion auf ihre Symmetrie hin untersuchen. Für eine achsensymmetrische Funktion gilt:
f(-x) = f(x)
Für eine punktsymmetrische Funktion gilt:
f(-x) = -f(x)
Wir setzen also x durch -x ein und prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist.
f(-x) = (-x)^4 – 4(-x)^2 + 3 = x^4 – 4x^2 + 3 = f(x)
Da die Gleichung erfüllt ist, ist die Funktion achsensymmetrisch.
Übung 2: Bestimmung der Schnittpunkte mit den Achsen
Gegeben ist die Funktion f(x) = x^3 – 6x. Bestimme die Schnittpunkte mit der x- und y-Achse.
Lösung:
Um die Schnittpunkte mit den Achsen zu bestimmen, setzen wir x bzw. y auf 0:
Schnittpunkt mit der x-Achse:
f(x) = 0
x^3 – 6x = 0
x(x^2 – 6) = 0
x = 0 oder x = sqrt(6) oder x = -sqrt(6)
Schnittpunkte mit der y-Achse:
f(0) = 0
Also hat die Funktion die Schnittpunkte (0,0), (sqrt(6),0) und (-sqrt(6),0).
Übung 3: Bestimmung der Ableitungen und Extremstellen
Gegeben ist die Funktion f(x) = x^3 – 6x. Bestimme die Ableitungen und die Extremstellen.
Lösung:
Die Ableitung der Funktion f(x) lautet:
f'(x) = 3x^2 – 6
Um die Extremstellen zu bestimmen, setzen wir die Ableitung gleich 0:
3x^2 – 6 = 0
x^2 – 2 = 0
x = sqrt(2) oder x = -sqrt(2)
Um zu bestimmen, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt, setzen wir die Werte in die zweite Ableitung ein:
f“(x) = 6x
Wenn f“(x) an der Stelle x positiv ist, handelt es sich um ein Minimum, wenn es negativ ist, um ein Maximum.
f“(sqrt(2)) = 6sqrt(2) > 0, also handelt es sich um ein Minimum bei x = sqrt(2).
f“(-sqrt(2)) = -6sqrt(2) < 0, also handelt es sich um ein Maximum bei x = -sqrt(2).
Übung 4: Bestimmung des Wendepunkts
Gegeben ist die Funktion f(x) = x^3 – 6x. Bestimme den Wendepunkt.
Lösung:
Die zweite Ableitung der Funktion lautet:
f“(x) = 6x
Um den Wendepunkt zu bestimmen, setzen wir die zweite Ableitung gleich 0:
6x = 0
x = 0
Um zu bestimmen, ob es sich um einen Wendepunkt handelt, setzen wir den Wert in die dritte Ableitung ein:
f“'(x) = 6
Da f“'(0) ungleich 0 ist, handelt es sich um einen Wendepunkt bei x = 0.
Übung 5: Bestimmung des Verhaltens im Unendlichen
Gegeben ist die Funktion f(x) = x^3 – 6x. Bestimme das Verhalten der Funktion im Unendlichen.
Lösung:
Um das Verhalten im Unendlichen zu bestimmen, betrachten wir die höchste Potenz von x in der Funktion.
Da die höchste Potenz von x^3 ist, tendiert die Funktion für x gegen Unendlich entweder gegen Unendlich oder gegen minus Unendlich.
Um zu bestimmen, welches der Fall ist, betrachten wir das Vorzeichen von x^3. Für x > 0 ist x^3 positiv, für x < 0 ist x^3 negativ.
Das bedeutet, dass die Funktion für x gegen Unendlich gegen Unendlich tendiert, und für x gegen minus Unendlich gegen minus Unendlich tendiert.
Übung 6: Bestimmung des Graphen
Gegeben ist die Funktion f(x) = x^3 – 6x. Skizziere den Graphen.
Lösung:
Um den Graphen zu skizzieren, nutzen wir die Ergebnisse aus den vorherigen Übungen:
- Die Funktion ist achsensymmetrisch.
- Die Funktion hat die Schnittpunkte (0,0), (sqrt(6),0) und (-sqrt(6),0).
- Die Funktion hat ein Minimum bei x = sqrt(2).
- Die Funktion hat einen Wendepunkt bei x = 0.
- Die Funktion tendiert für x gegen Unendlich gegen Unendlich und für x gegen minus Unendlich gegen minus Unendlich.
Der Graph sieht folgendermaßen aus:
Beispiel 1: Bestimmung der Symmetrie einer Funktion
Gegeben ist die Funktion f(x) = x^2 – 4x + 4. Bestimme, ob die Funktion achsensymmetrisch, punktsymmetrisch oder weder noch ist.
Lösung:
Um die Symmetrie einer Funktion zu bestimmen, müssen wir die Funktion auf ihre Symmetrie hin untersuchen. Für eine achsensymmetrische Funktion gilt:
f(-x) = f(x)
Für eine punktsymmetrische Funktion gilt:
f(-x) = -f(x)
Wir setzen also x durch -x ein und prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist.
f(-x) = (-x)^2 – 4(-x) + 4 = x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 = f(x)
Da die Gleichung erfüllt ist, ist die Funktion punktsymmetrisch zum Punkt (-2,0).
Beispiel 2: Bestimmung der Schnittpunkte mit den Achsen
Gegeben ist die Funktion f(x) = x^2 – 4x + 4. Bestimme die Schnittpunkte mit der x- und y-Achse.
Lösung:
Um die Schnittpunkte mit den Achsen zu bestimmen, setzen wir x bzw. y auf 0:
Schnittpunkt mit der x-Achse:
f(x) = 0
x^2 – 4x + 4 = 0
(x – 2)^2 = 0
x = 2
Schnittpunkt mit der y-Achse:
f(0) = 4
Also hat die Funktion den Schnittpunkt (0,4).
Beispiel 3: Bestimmung der Ableitungen und Extremstellen
Gegeben ist die Funktion f(x) = x^2 – 4x + 4. Bestimme die Ableitungen und die Extremstellen.
Lösung:
Die Ableitung der Funktion f(x) lautet:
f'(x) = 2x – 4
Um die Extremstellen zu bestimmen, setzen wir die Ableitung gleich 0:
2x – 4 = 0
x = 2
Um zu bestimmen, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt, setzen wir den Wert in die zweite Ableitung ein:
f“(x) = 2
Da f“(2) positiv ist, handelt es sich um ein Minimum bei x = 2.
Beispiel 4: Bestimmung des Wendepunkts
Gegeben ist die Funktion f(x) = x^2 – 4x + 4. Bestimme den Wendepunkt.
Lösung:
Die zweite Ableitung der Funktion lautet:
f“(x) = 2
Da f“(x) konstant ist, hat die Funktion keine Wendepunkte.
Beispiel 5: Bestimmung des Verhaltens im Unendlichen
Gegeben ist die Funktion f(x) = x^2 – 4x + 4. Bestimme das Verhalten der Funktion im Unendlichen.
Lösung:
Um das Verhalten im Unendlichen zu bestimmen, betrachten wir die höchste Potenz von x in der Funktion.
Da die höchste Potenz von x^2 ist, tendiert die Funktion für x gegen Unendlich entweder gegen Unendlich oder gegen minus Unendlich.
Um zu bestimmen, welches der Fall ist, betrachten wir das Vorzeichen von x^2. Für x > 0 ist x^2 positiv, für x < 0 ist x^2 ebenfalls positiv.
Das bedeutet, dass die Funktion für x gegen Unendlich gegen Unendlich tendiert, und für x gegen minus Unendlich ebenfalls gegen Unendlich tendiert.
Beispiel 6: Bestimmung des Graphen
Gegeben ist die Funktion f(x) = x^2 – 4x + 4. Skizziere den Graphen.
Lösung:
Um den Graphen zu skizzieren, nutzen wir die Ergebnisse aus den vorherigen Übungen:
- Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Punkt (-2,0).
- Die Funktion hat den Schnittpunkt (0,4).
- Die Funktion hat ein Minimum bei x = 2.
Der Graph sieht folgendermaßen aus:
Zusammenfassung
In dieser Übung haben wir verschiedene Aufgaben zur Kurvendiskussion bearbeitet. Wir haben gezeigt, wie man die Symmetrie einer Funktion bestimmt, die Schnittpunkte mit den Achsen berechnet, die Ableitungen und Extremstellen bestimmt, den Wendepunkt ermittelt und das Verhalten im Unendlichen untersucht. Außerdem haben wir gezeigt, wie man den Graphen der Funktion skizziert. Diese Methoden sind wichtige Werkzeuge zur Analyse von Funktionen und helfen dabei, das Verhalten von Funktionen besser zu verstehen.
Die Kurvendiskussion ist ein wichtiger Bestandteil des Mathematikunterrichts in der 12. Klasse. Dabei geht es darum, die Eigenschaften einer Funktion zu analysieren und zu beschreiben. In diesem Blogbeitrag werden wir uns mit einigen Aufgaben zur Kurvendiskussion beschäftigen und Lösungen präsentieren.
Aufgabe 1:
Gegeben ist die Funktion f(x) = x^3 – 3x^2 + 4x – 2. Bestimme die Ableitungen f'(x) und f“(x).
Lösung:
f'(x) = 3x^2 – 6x + 4
f“(x) = 6x – 6
Aufgabe 2:
Untersuche die Funktion f(x) = x^4 – 4x^3 + 6x^2 auf ihre Symmetrie.
Lösung:
Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, da f(-x) = f(x).
Aufgabe 3:
Bestimme die Nullstellen, Extrema und Wendepunkte der Funktion f(x) = 2x^3 – 6x^2 + 4x.
Lösung:
Die Nullstellen sind x1 = 0 und x2 = 3.
Das Maximum liegt bei x = 1, f(1) = 0.
Der Wendepunkt liegt bei x = 2/3, f(2/3) = -4/27.
Aufgabe 4:
Untersuche die Funktion f(x) = x^5 – 5x^4 + 10x^3 – 10x^2 + 5x auf ihre Monotonie.
Lösung:
Die Ableitung der Funktion ist f'(x) = 5x^4 – 20x^3 + 30x^2 – 20x + 5.
Die zweite Ableitung ist f“(x) = 20x^3 – 60x^2 + 60x – 20.
Die Funktion ist auf dem Intervall (-unendlich, unendlich) streng monoton steigend.
Zusammenfassung:
In der Kurvendiskussion geht es darum, die Eigenschaften einer Funktion zu analysieren und zu beschreiben. Dabei werden unter anderem Nullstellen, Extrema und Wendepunkte bestimmt. In diesem Blogbeitrag haben wir uns mit einigen Aufgaben zur Kurvendiskussion beschäftigt und Lösungen präsentiert. Wichtig ist es, die Ableitungen der Funktion zu bilden und diese auf ihre Monotonie zu untersuchen.
Wir hoffen, dass dieser Blogbeitrag hilfreich war und Sie bei der Vorbereitung auf Ihre Prüfungen unterstützt hat. Wenn Sie weitere Fragen haben, zögern Sie nicht, uns zu kontaktieren.