Öffnen Lösungen PDF – Binomische Formeln
Übung 1: (a+b)²
Erklären Sie die Binomische Formel (a+b)² und geben Sie ein Beispiel an.
Lösung: Die Binomische Formel (a+b)² besagt, dass das Quadrat der Summe zweier Terme (a+b) ausgedrückt werden kann als die Summe der Quadrate der einzelnen Terme plus dem doppelten Produkt der beiden Terme.
(a+b)² = a² + 2ab + b²
Ein Beispiel wäre:
(2x+3)² = (2x)² + 2(2x)(3) + 3² = 4x² + 12x + 9
Übung 2: (a-b)²
Erklären Sie die Binomische Formel (a-b)² und geben Sie ein Beispiel an.
Lösung: Die Binomische Formel (a-b)² besagt, dass das Quadrat der Differenz zweier Terme (a-b) ausgedrückt werden kann als die Summe der Quadrate der einzelnen Terme minus dem doppelten Produkt der beiden Terme.
(a-b)² = a² – 2ab + b²
Ein Beispiel wäre:
(5x-2)² = (5x)² – 2(5x)(2) + 2² = 25x² – 20x + 4
Übung 3: (a+b)(a-b)
Erklären Sie die Binomische Formel (a+b)(a-b) und geben Sie ein Beispiel an.
Lösung: Die Binomische Formel (a+b)(a-b) besagt, dass das Produkt aus der Summe und der Differenz zweier Terme (a+b) und (a-b) ausgedrückt werden kann als die Differenz der Quadrate der einzelnen Terme.
(a+b)(a-b) = a² – b²
Ein Beispiel wäre:
(2x+1)(2x-1) = (2x)² – 1² = 4x² – 1
Übung 4: 3(x+2)²
Berechnen Sie die binomische Formel für 3(x+2)².
Lösung: Wir setzen a=x und b=2, dann ergibt sich:
3(x+2)² = 3x² + 12x + 12
Übung 5: (4x-3)²
Berechnen Sie die binomische Formel für (4x-3)².
Lösung: Wir setzen a=4x und b=-3, dann ergibt sich:
(4x-3)² = (4x)² – 2(4x)(3) + 3² = 16x² – 24x + 9
Übung 6: (2x+1)(2x-1)
Berechnen Sie die binomische Formel für (2x+1)(2x-1).
Lösung: Wir setzen a=2x und b=1, dann ergibt sich:
(2x+1)(2x-1) = (2x)² – 1² = 4x² – 1
Übung 7: (3a+2b)(3a-2b)
Berechnen Sie die binomische Formel für (3a+2b)(3a-2b).
Lösung: Wir setzen a=3a und b=2b, dann ergibt sich:
(3a+2b)(3a-2b) = (3a)² – (2b)² = 9a² – 4b²
Übung 8: (2x+3)(2x²+5x-6)
Berechnen Sie das Produkt aus den Termen (2x+3) und (2x²+5x-6) mit Hilfe der Binomischen Formeln.
Lösung: Wir setzen a=2x und b=3, dann ergibt sich:
(2x+3)(2x²+5x-6) = 2x(2x²+5x-6) + 3(2x²+5x-6)
= 4x³ + 10x² – 12x + 6x² + 15x – 18
= 4x³ + 16x² + 3x – 18
Übung 9: (a+b+c)²
Erklären Sie die Binomische Formel (a+b+c)² und geben Sie ein Beispiel an.
Lösung: Die Binomische Formel (a+b+c)² besagt, dass das Quadrat der Summe dreier Terme (a+b+c) ausgedrückt werden kann als die Summe der Quadrate der einzelnen Terme plus dem doppelten Produkt aller möglichen Kombinationen aus zwei der drei Terme.
(a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
Ein Beispiel wäre:
(2x+3y+4z)² = (2x)² + (3y)² + (4z)² + 2(2x)(3y) + 2(2x)(4z) + 2(3y)(4z)
= 4x² + 9y² + 16z² + 12xy + 16xz + 24yz
Übung 10: (a-b-c)²
Erklären Sie die Binomische Formel (a-b-c)² und geben Sie ein Beispiel an.
Lösung: Die Binomische Formel (a-b-c)² besagt, dass das Quadrat der Differenz dreier Terme (a-b-c) ausgedrückt werden kann als die Summe der Quadrate der einzelnen Terme minus dem doppelten Produkt aller möglichen Kombinationen aus zwei der drei Terme.
(a-b-c)² = a² + b² + c² – 2ab – 2ac + 2bc
Ein Beispiel wäre:
(5x-2y-3z)² = (5x)² + (2y)² + (3z)² – 2(5x)(2y) – 2(5x)(3z) + 2(2y)(3z)
= 25x² + 4y² + 9z² – 20xy – 30xz + 12yz
Übung 11: (3a+2b-c)(3a+2b+c)
Berechnen Sie das Produkt aus den Termen (3a+2b-c) und (3a+2b+c) mit Hilfe der Binomischen Formeln.
Lösung: Wir setzen a=3a, b=2b und c=-c, dann ergibt sich:
(3a+2b-c)(3a+2b+c) = (3a)² + (2b)² + (-c)² + 2(3a)(2b) – 2(3a)(c) + 2(2b)(c)
= 9a² + 4b² + c² + 12ab – 6ac + 4bc
In der siebten Klasse wird oft das Thema „Binomische Formeln“ im Mathematikunterricht behandelt. Dabei geht es darum, wie man Ausdrücke mit zwei Termen, also Binomen, mithilfe von bestimmten Formeln vereinfachen kann. Hier wollen wir einige Aufgaben zu diesem Thema vorstellen, zusammen mit Lösungen und Erklärungen.
Was sind binomische Formeln?
Binomische Formeln sind bestimmte Gleichungen, die dabei helfen, Ausdrücke mit Binomen zu vereinfachen. Es gibt drei solcher Formeln:
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a – b)² = a² – 2ab + b²
- (a + b)(a – b) = a² – b²
Diese Formeln sind sehr nützlich, um zum Beispiel Klammern aufzulösen oder Polynome zu vereinfachen.
Aufgaben zur Übung
Hier sind einige Aufgaben, bei denen man binomische Formeln anwenden muss:
- Vereinfache den Ausdruck (x + 2)².
- Löse die Klammer auf: (3x – 2)².
- Vereinfache den Ausdruck (a + 4)(a – 4).
- Löse die Klammer auf: (2y + 1)(2y – 1).
Lösungen und Erklärungen
Hier sind die Lösungen zu den Aufgaben:
- (x + 2)² = x² + 4x + 4
- (3x – 2)² = 9x² – 12x + 4
- (a + 4)(a – 4) = a² – 16
- (2y + 1)(2y – 1) = 4y² – 1
Um diese Lösungen zu erhalten, muss man einfach die entsprechende binomische Formel anwenden und die Terme entsprechend zusammenfassen. Zum Beispiel:
– Bei Aufgabe 1 wendet man die Formel (a + b)² = a² + 2ab + b² an, wobei a = x und b = 2. Daraus ergibt sich dann x² + 2x + 4.
– Bei Aufgabe 2 wendet man die Formel (a – b)² = a² – 2ab + b² an, wobei a = 3x und b = 2. Daraus ergibt sich dann 9x² – 12x + 4.
– Bei Aufgabe 3 wendet man die Formel (a + b)(a – b) = a² – b² an, wobei a = a und b = 4. Daraus ergibt sich dann a² – 16.
– Bei Aufgabe 4 wendet man die Formel (a + b)(a – b) = a² – b² an, wobei a = 2y und b = 1. Daraus ergibt sich dann 4y² – 1.
Fazit
Binomische Formeln sind ein wichtiger Bestandteil des Mathematikunterrichts in der siebten Klasse. Mit Übung und Verständnis kann man sie schnell anwenden und damit Ausdrücke vereinfachen oder auf lösen. Wir hoffen, dass diese Aufgaben und Lösungen dazu beitragen, das Thema besser zu verstehen.
| Stichwörter: | Binomische Formeln, Mathematik, Klasse 7, Übungsaufgaben, Lösungen |