Öffnen Lösungen PDF – Lineare Funktionen Gymnasium
Übung 1: Bestimme die Funktionsgleichung einer linearen Funktion
Gesucht ist die Funktionsgleichung einer linearen Funktion, die durch die Punkte A(2|4) und B(5|9) verläuft.
Lösung: Zunächst bestimmen wir die Steigung m der Geraden. Dazu verwenden wir die Formel m = (y2 – y1) / (x2 – x1).
m = (9 – 4) / (5 – 2) = 5 / 3
Als nächstes verwenden wir den Punkt A und die Steigung m, um die Funktionsgleichung aufzustellen. Dazu verwenden wir die Form y = mx + b und setzen m = 5/3 und x = 2 sowie y = 4 ein.
4 = (5/3) * 2 + b
b = 2/3
Die Funktionsgleichung lautet also y = (5/3)x + 2/3.
Übung 2: Bestimme den Schnittpunkt zweier Geraden
Gesucht ist der Schnittpunkt der Geraden f(x) = 2x – 3 und g(x) = -3x + 9.
Lösung: Um den Schnittpunkt zu bestimmen, setzen wir die beiden Funktionsgleichungen gleich und lösen nach x auf.
2x – 3 = -3x + 9
5x = 12
x = 12/5
Um den y-Wert des Schnittpunkts zu bestimmen, setzen wir x = 12/5 in eine der beiden Funktionsgleichungen ein.
f(12/5) = 2 * (12/5) – 3 = 24/5 – 15/5 = 9/5
Der Schnittpunkt der beiden Geraden liegt also bei den Koordinaten (12/5|9/5).
Übung 3: Bestimme den Graphen einer linearen Funktion
Gesucht ist der Graph der linearen Funktion f(x) = -0,5x + 3.
Lösung: Um den Graphen zu zeichnen, benötigen wir mindestens zwei Punkte. Wir setzen daher x = 0 und x = 6 ein und berechnen die dazugehörigen y-Werte.
f(0) = -0,5 * 0 + 3 = 3
f(6) = -0,5 * 6 + 3 = 0
Die beiden Punkte sind also (0|3) und (6|0). Wir tragen sie in ein Koordinatensystem ein und verbinden sie mit einer Geraden. Dies ergibt den Graphen der Funktion.
Übung 4: Löse eine Textaufgabe mit einer linearen Funktion
Ein Auto fährt mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h. Wie weit kommt es in 3 Stunden?
Lösung: Wir verwenden die Formel s = v * t, wobei s die Strecke, v die Geschwindigkeit und t die Zeit ist. In unserem Fall ist v = 80 km/h und t = 3 h.
s = 80 km/h * 3 h = 240 km
Das Auto kommt also in 3 Stunden 240 km weit.
Übung 5: Bestimme die Nullstelle einer linearen Funktion
Gesucht ist die Nullstelle der Funktion f(x) = 2x – 6.
Lösung: Die Nullstelle einer Funktion ist der Punkt, an dem die Funktion die x-Achse schneidet. Dies ist der Punkt mit dem y-Wert 0. Wir setzen also f(x) = 0 und lösen nach x auf.
2x – 6 = 0
2x = 6
x = 3
Die Nullstelle der Funktion f(x) = 2x – 6 ist also x = 3.
Übung 6: Bestimme die Steigung einer Geraden
Gesucht ist die Steigung der Geraden, die durch die Punkte A(-2|3) und B(4|9) verläuft.
Lösung: Wir verwenden die Formel m = (y2 – y1) / (x2 – x1), um die Steigung m der Geraden zu bestimmen.
m = (9 – 3) / (4 – (-2)) = 6 / 6 = 1
Die Steigung der Geraden ist also m = 1.
Übung 7: Bestimme die Funktionsgleichung einer Geraden
Gesucht ist die Funktionsgleichung der Geraden, die durch den Punkt A(3|4) verläuft und die Steigung m = -2 hat.
Lösung: Wir verwenden den Punkt A und die Steigung m, um die Funktionsgleichung aufzustellen. Dazu verwenden wir die Form y = mx + b und setzen m = -2 und x = 3 sowie y = 4 ein.
4 = (-2) * 3 + b
b = 10
Die Funktionsgleichung lautet also y = -2x + 10.
Übung 8: Bestimme die Steigungsdreiecke zweier Geraden
Gesucht sind die Steigungsdreiecke der Geraden f(x) = -0,5x + 4 und g(x) = 2x – 6.
Lösung: Die Steigungsdreiecke geben an, wie stark sich die Funktionswerte ändern, wenn man sich um eine Einheit auf der x-Achse bewegt. Die Steigungsdreiecke haben also die Höhe m und die Basis 1.
Die Steigung der Geraden f(x) = -0,5x + 4 ist m = -0,5. Das Steigungsdreieck hat also die Höhe -0,5 und die Basis 1.
Die Steigung der Geraden g(x) = 2x – 6 ist m = 2. Das Steigungsdreieck hat also die Höhe 2 und die Basis 1.
In der 8. Klasse des Gymnasiums beschäftigen sich Schülerinnen und Schüler intensiv mit linearen Funktionen. Dabei geht es unter anderem um das Zeichnen von Funktionsgraphen, das Lösen von Gleichungen und die Anwendung von linearen Funktionen in Alltagsaufgaben.
Beispiel-Aufgabe:
Ein Handwerker verlangt für seine Arbeit einen Stundenlohn von 40€ zuzüglich 10€ Materialkosten pro Stunde. Wie viel kostet es insgesamt, wenn er 6 Stunden arbeitet?
Lösung:
- Stundenlohn + Materialkosten pro Stunde ergibt den Gesamtpreis pro Stunde: 40€ + 10€ = 50€
- Um den Gesamtpreis zu berechnen, wird dieser mit der Anzahl der Stunden multipliziert: 50€ * 6 Stunden = 300€
Es kostet also insgesamt 300€, wenn der Handwerker 6 Stunden arbeitet.
Lineare Funktionen sind auch in anderen Bereichen relevant, beispielsweise in der Physik oder der Wirtschaft. Durch das Lösen von Aufgaben und das Anwenden von Funktionen können Schülerinnen und Schüler ihr Verständnis für Mathematik vertiefen und sich auf spätere Herausforderungen vorbereiten.
| Termin | Thema | Bemerkungen |
|---|---|---|
| 14. Oktober | Einführung lineare Funktionen | Übungen im Klassenraum |
| 21. Oktober | Zeichnen von Funktionsgraphen | Gruppenarbeit |
| 28. Oktober | Lösen von Gleichungen | Partnerarbeit |
| 4. November | Anwendung von linearen Funktionen | Einzelarbeit |
Die Schülerinnen und Schüler haben die Möglichkeit, ihr Wissen durch Übungen und Aufgaben zu vertiefen. Auch im Internet gibt es zahlreiche Ressourcen mit Aufgaben und Lösungen zu linearen Funktionen für die 8. Klasse Gymnasium.