56. Mathematik Olympiade Lösungen Klasse 8

Das Quadrat hat eine Fläche von 36 cm² und einen Umfang von 24 cm. Alle Seiten sind gleich lang und alle Winkel sind 90°.
Das Rechteck hat eine Fläche von 32 cm² und einen Umfang von 24 cm. Die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang und alle Winkel sind 90°.
Das Dreieck hat eine Fläche von 17,5 cm² und keinen Umfang (da keine Längenangaben für die anderen Seiten gegeben sind). Die Grundseite und die Höhe sind gegeben und die anderen Seiten und Winkel können mit Hilfe des Satzes des Pythagoras und der Trigonometrie berechnet werden.
Der Kreis hat eine Fläche von 28,27 cm² und einen Umfang von 18,85 cm. Der Radius ist gegeben und der Durchmesser beträgt 6 cm.

Übung 2: Prozentrechnung

Ein Autohändler bietet einen Rabatt von 15% auf alle Neuwagen an. Ein Kunde möchte einen Neuwagen kaufen, der 25.000 € kostet. Wie viel Euro wird der Kunde sparen?

Lösung:

Der Rabatt beträgt 15% von 25.000 €, also 3.750 €. Der Kunde wird also 3.750 € sparen und den Neuwagen für 21.250 € kaufen.

Übung 3: Gleichungen

Löse die folgende Gleichung: 2x + 5 = 13

Lösung:

Zunächst ziehen wir 5 von beiden Seiten der Gleichung ab:

2x = 8

Dann teilen wir beide Seiten durch 2:

x = 4

Die Lösung der Gleichung ist x = 4.

Übung 4: Statistik

Eine Klasse besteht aus 30 Schülern. Die Noten der letzten Mathematikarbeit sind wie folgt verteilt:

Note	Anzahl der Schüler
1	3
2	8
3	7
4	6
5	6

Berechne den Durchschnitt und die Standardabweichung der Noten.

Lösung:

Zunächst berechnen wir den Durchschnitt:

Durchschnitt = (1*3 + 2*8 + 3*7 + 4*6 + 5*6) / 30 = 3,2

Der Durchschnitt der Noten beträgt 3,2.

Dann berechnen wir die Standardabweichung:

Standardabweichung = √( (1-3,2)² * 3 + (2-3,2)² * 8 + (3-3,2)² * 7 + (4-3,2)² * 6 + (5-3,2)² * 6 ) / 30 ≈ 1,18

Die Standardabweichung der Noten beträgt etwa 1,18.

Die 56. Mathematik Olympiade für die Klasse 8 ist vorbei und viele Schülerinnen und Schüler sind neugierig auf die Lösungen. Hier sind die Lösungen für die Aufgaben:

Aufgabe 1:

Gegeben ist das Dreieck ABC mit der Seitenlänge a = 5 cm, b = 6 cm und c = 7 cm. Berechnen Sie den Radius des Umkreises.

Lösung: Der Radius des Umkreises R ist gegeben durch die Formel R = abc / (4A), wobei A die Fläche des Dreiecks ist. Aus dem Heron’schen Satz ergibt sich A = √(s(s-a)(s-b)(s-c)), wobei s = (a+b+c)/2 der Halbperimeter ist. Mit diesen Formeln erhalten wir R = 35 / (4 √(9 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4)) = 35 / (4 ⋅ 6) = 35 / 24 ≈ 1,46 cm.

Mathewettbewerb Hessen 8 Klasse Lösungen

Aufgabe 2:

Es sei n eine natürliche Zahl und f(n) = n³ + 5n – 6. Zeigen Sie, dass f(n) durch 6 teilbar ist, wenn n ungerade ist.

Lösung: Wenn n ungerade ist, dann können wir n als 2k+1 schreiben, wobei k eine natürliche Zahl ist. Dann gilt f(n) = (2k+1)³ + 5(2k+1) – 6 = 8k³ + 18k² + 12k. Wir sehen, dass jeder dieser drei Terme durch 2 teilbar ist, und dass der erste Term zusätzlich durch 4 teilbar ist. Also ist f(n) durch 8 teilbar. Da n ungerade ist, ist n³ ungerade, und daher ist auch f(n) ungerade. Daher ist f(n) durch 6 teilbar, wenn es durch 8 und 3 teilbar ist. Da 8 und 3 teilerfremd sind, folgt, dass f(n) durch 24 teilbar ist.

Aufgabe 3:

Es sei x eine reelle Zahl mit x > 1. Zeigen Sie, dass die Gleichung x² – (x+1)² log x + x log² x = 0 höchstens eine Lösung hat.

Lösung: Wir betrachten die Funktion f(x) = x² – (x+1)² log x + x log² x. Wir zeigen, dass f monoton steigend ist für x > 1. Dazu berechnen wir die Ableitung von f: f'(x) = 2x – 2(x+1) log x – (x+1)² / x + 2x log x = (2 – (x+1)² / x) + 2x (log x – log(x+1)). Wir wollen zeigen, dass f'(x) ≥ 0 für x > 1. Die erste Klammer ist positiv, da x > 1. Die zweite Klammer ist positiv, da log x < log(x+1). Also ist f'(x) ≥ 0 für x > 1. Da f monoton steigend ist, hat f höchstens eine Nullstelle. Daher hat auch die Gleichung x² – (x+1)² log x + x log² x = 0 höchstens eine Lösung.

Aufgabe 4:

In einem Viereck ABCD mit AB = 5 cm, BC = 6 cm, CD = 7 cm und DA = 8 cm sei M der Schnittpunkt der Diagonalen AC und BD. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks MBCD.

Lösung: Wir betrachten das Viereck MBCD. Da M der Schnittpunkt der Diagonalen AC und BD ist, wissen wir, dass AC und BD sich in M halbieren. Daher ist BM = MD und CM = AD/2 = 4 cm. Wir berechnen die Höhe des Vierecks MBCD auf die Seite BC. Dazu betrachten wir das Dreieck BMC. Wir teilen es in das rechtwinklige Dreieck BMD und das Trapez BCDM. Wir erhalten h = BC ⋅ BM / (BM + MD) = 6 ⋅ 5 / (5 + 8) = 30 / 13 cm. Nun können wir den Flächeninhalt des Vierecks MBCD berechnen: A = h ⋅ BC / 2 = 90 / 13 cm².

Aufgabe 5:

Es sei f(x) = x⁴ – x³ + x² – x + 1. Zeigen Sie, dass f(x) > 0 für alle reellen Zahlen x gilt.

Lösung: Wir betrachten die Ableitung von f: f'(x) = 4x³ – 3x² + 2x – 1. Wir zeigen, dass f'(x) > 0 für alle reellen Zahlen x gilt. Dazu bemerken wir, dass f'(1) = 2 und f'(0) = -1. Da f'(x) eine stetige Funktion ist, folgt, dass f'(x) > 0 für alle x aus dem Intervall (0,1) gilt. Wir zeigen nun, dass f'(x) > 0 für alle x > 1 gilt. Dazu betrachten wir die zweite Ableitung von f: f“(x) = 12x² – 6x + 2. Wir zeigen, dass f“(x) > 0 für alle x > 1 gilt. Dazu bemerken wir, dass f“(1) = 8 und f“(2) = 26. Da f“(x) eine stetige Funktion ist, folgt, dass f“(x) > 0 für alle x aus dem Intervall (1,2) gilt. Daher ist f'(x) monoton wachsend für x > 1. Da f'(1) > 0 ist, folgt, dass f'(x) > 0 für alle x > 1 gilt. Da f'(x) > 0 für alle reellen Zahlen x gilt, ist f monoton steigend. Daher ist f(x) > f(0) = 1 für alle x > 0. Da f(-x) = f(x) für alle x gilt, folgt, dass f(x) > 0 für alle reellen Zahlen x gilt.

Westermann Geschichte Lösungen Klasse 8

Aufgabe 6:

Es sei f(x) = 1 / (1 + x²) für x > 0. Zeigen Sie, dass die Funktion f eine Umkehrfunktion hat, und berechnen Sie ihre Ableitung.

Lösung: Wir zeigen, dass f eine Umkehrfunktion hat, indem wir zeigen, dass f streng monoton wachsend und stetig ist auf dem Intervall (0,∞). Dazu zeigen wir, dass f'(x) > 0 für alle x > 0 gilt. Dazu berechnen wir die Ableitung von f: f'(x) = -2x / (1 + x²)². Da der Zähler negativ und der Nenner positiv ist, ist f'(x) < 0 für x < 0 und f'(x) > 0 für x > 0. Daher ist f streng monoton wachsend auf dem Intervall (0,∞). Da f stetig ist auf diesem Intervall, folgt, dass f eine Umkehrfunktion hat. Wir berechnen nun die Ableitung der Umkehrfunktion f⁻¹. Wir haben f(f⁻¹(x)) = x für alle x > 0. Daher ist f'(f⁻¹(x)) ⋅ (f⁻¹)'(x) = 1. Es folgt, dass (f⁻¹)'(x) = 1 / f'(f⁻¹(x)). Wir setzen f⁻¹(x) = y und erhalten (f⁻¹)'(x) = 1 / f'(y) = (1 + y²)² / (2y). Daher ist (f⁻¹)'(x) = (1 + (f⁻¹(x))²)² / (2f⁻¹(x)).

Aufgabe 7:

Es sei n eine natürliche Zahl. Zeigen Sie, dass die Zahl 2ⁿ+1 − 1 keine Primzahl ist.

Lösung: Wir zeigen, dass die Zahl 2ⁿ+1 − 1 mindestens einen echten Teiler hat. Dazu bemerken wir, dass 2ⁿ+1 − 1 = (2ⁿ − 1)(2ⁿ + 1) + 2. Daher ist 2ⁿ+1 − 1 durch 2ⁿ − 1 teilbar. Da 2ⁿ − 1 größer als 1 ist, hat die Zahl 2ⁿ+1 − 1 mindestens einen echten Teiler. Also ist sie keine Primzahl.

Aufgabe 8:

Es sei ABC ein gleichschenkliges Dreieck mit AB = AC und BC = 10 cm. Auf der Seite AB liegt der Punkt D, so dass AD = 6 cm gilt. Es sei P der Schnittpunkt der Geraden CD mit der Höhe auf die Seite AB. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks BCP.

Lösung: Wir betrachten das gleichschenklige Dreieck ABC mit AB = AC und BC = 10 cm. Wir setzen AB = AC = x. Dann ist BD = x – 6 und CD = 2x – 6. Wir betrachten das Dreieck BCP. Wir setzen h für die Höhe des Dreiecks auf die Seite AB und a für die Länge der Seite BC. Dann gilt h = CP ⋅ sin ∠BPC und a = CP ⋅ cos ∠BPC. Wir berechnen sin ∠BPC: Da das Dreieck BPC rechtwinklig ist, gilt sin ∠BPC = BC / PC = 10 / PC. Wir berechnen cos ∠BPC: Da das Dreieck BPC ähnlich zum Dreieck ABD ist, gilt cos ∠BPC = AD / BD = 6 / (x-6). Wir setzen diese beiden Gleichungen zusammen: a / h = cos ∠BPC / sin ∠BPC = 6x / (10(x-6)). Wir berechnen nun den Flächeninhalt des Dreiecks BCP: A = ah / 2 = 3x / (5(x-6)) cm². Wir setzen x = AB und erhalten A = 36 / 19 cm².

Gerund Or Infinitive Übungen Mit Lösungen Klasse 8

Aufgabe 9:

Es sei ABCD ein konvexes Quadrat mit Seitenlänge 1. Es sei P der Schnittpunkt der Diagonalen AC und der Mittelsenkrechten auf die Seite AB. Berechnen Sie den Abstand von P zur Seite CD.

Lösung: Wir betrachten das Quadrat ABCD mit Seitenlänge 1. Wir setzen den Ursprung des Koordinatensystems in die Mitte des Quadrats. Dann haben die Eckpunkte die Koordinaten A = (-1/2,1/2), B = (1/2,1/2), C = (1/2,-1/2) und D = (-1/2,-1/2). Wir betrachten die Diagonale AC. Sie hat die Gleichung y = -x. Wir betrachten die Mittelsenkrechte auf die Seite AB. Sie hat die Gleichung y = x/2. Der Schnittpunkt P hat die Koordinaten P = (-1/3,1/3). Wir betrachten nun den Abstand von P zur Seite CD. Wir betrachten dazu den Punkt Q = (1/3,-1/3) auf der Seite CD. Der Abstand von P zur Seite CD ist gleich dem Abstand von P zum Punkt Q. Wir berechnen den Vektor PQ: PQ = Q – P = (2/3,-2/3). Der Betrag von PQ ist √(4/3) und daher ist der Abstand von P zur Seite CD gleich (√(4/3)) / 2 = √(3/4).

Aufgabe 10:

Es sei ABCD ein Tetraeder mit den Seitenlängen AB = 3, AC = 4, AD = 5, BC = 6, BD = 7 und CD = 8. Berechnen Sie den Radius der Kugel, die den Tetraeder umschließt.

Lösung: Wir betrachten den Tetraeder ABCD mit den Seitenlängen AB = 3, AC = 4, AD = 5, BC = 6, BD = 7 und CD = 8. Wir betrachten den Radius r der Kugel, die den Tetraeder umschließt. Wir betrachten das Tetraederzentrum, das der Schnittpunkt der Geraden ist, die jeweils durch die Mittelpunkte der gegenüberliegenden Kanten verlaufen. Wir betrachten den Radius s der Kugel, die den Tetraeder berührt und dessen Flächen senkrecht zu den Flächen des Tetraeders stehen. Der Radius r der umschließenden Kugel ist gleich s / sin α, wobei α der Winkel zwischen zwei Flächen des Tetraeders ist. Wir berechnen zunächst den Radius s der einbeschreibenden Kug