Öffnen Lösungen PDF – Quadratische Funktionen
Übung 1: Bestimme die Nullstellen der quadratischen Gleichung
Gegeben ist die quadratische Funktion f(x) = x² – 6x + 8. Bestimme die Nullstellen der Funktion.
Lösung:
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion können durch das Lösen der quadratischen Gleichung f(x) = 0 gefunden werden.
f(x) = x² – 6x + 8 = 0
Wir setzen die Funktion gleich Null und lösen die Gleichung mit der quadratischen Formel:
x1,2 = (-b ± √b² – 4ac) / 2a
a = 1, b = -6, c = 8
x1,2 = (6 ± √36 – 32) / 2
x1 = 4, x2 = 2
Die Nullstellen der Funktion sind x1 = 4 und x2 = 2.
Übung 2: Bestimme die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion
Gegeben ist die quadratische Funktion f(x) = x² + 4x – 5. Bestimme die Scheitelpunktform der Funktion.
Lösung:
Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lautet f(x) = a(x – h)² + k, wobei (h,k) der Scheitelpunkt der Parabel ist.
Um die Scheitelpunktform der Funktion zu bestimmen, müssen wir die quadratische Ergänzung durchführen.
f(x) = x² + 4x – 5
f(x) = (x² + 4x + 4) – 9
f(x) = (x + 2)² – 9
Die Scheitelpunktform der Funktion ist f(x) = (x + 2)² – 9. Der Scheitelpunkt der Parabel ist (-2,-9).
Übung 3: Zeichne die Parabel
Gegeben ist die quadratische Funktion f(x) = -2x² + 4x + 1. Zeichne die Parabel und bestimme die Koordinaten des Scheitelpunkts.
Lösung:
Um die Parabel zu zeichnen, können wir die Scheitelpunktform der Funktion verwenden.
f(x) = -2x² + 4x + 1
f(x) = -2(x² – 2x) + 1
f(x) = -2(x – 1)² + 3
Die Scheitelpunktform der Funktion lautet f(x) = -2(x – 1)² + 3. Der Scheitelpunkt der Parabel ist (1,3).
Wir können die Parabel nun zeichnen, indem wir den Scheitelpunkt als Ausgangspunkt nehmen und die Parabel nach oben und unten öffnen.
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| f(x) | 9 | 2 | -1 | 3 | -5 |
Die Parabel sieht wie folgt aus:
Übung 4: Bestimme den Scheitelpunkt und die Nullstellen der quadratischen Funktion
Gegeben ist die quadratische Funktion f(x) = -x² + 6x – 5. Bestimme den Scheitelpunkt und die Nullstellen der Funktion.
Lösung:
Wir bestimmen zunächst den Scheitelpunkt der Funktion.
f(x) = -x² + 6x – 5
f(x) = -(x² – 6x) – 5
f(x) = -(x² – 6x + 9) + 4
f(x) = -(x – 3)² + 4
Die Scheitelpunktform der Funktion lautet f(x) = -(x – 3)² + 4. Der Scheitelpunkt der Parabel ist (3,4).
Nun bestimmen wir die Nullstellen der Funktion.
f(x) = -x² + 6x – 5
f(x) = -(x – 3)² + 4
Setzen wir f(x) = 0, so erhalten wir:
0 = -(x – 3)² + 4
(x – 3)² = 4
x – 3 = ±2
x1 = 1, x2 = 5
Die Nullstellen der Funktion sind x1 = 1 und x2 = 5.
Übung 5: Berechne den Funktionswert an einer gegebenen Stelle
Gegeben ist die quadratische Funktion f(x) = x² – 2x + 1. Berechne den Funktionswert an der Stelle x = 3.
Lösung:
Wir setzen x = 3 in die Funktion ein und erhalten:
f(3) = 3² – 2 * 3 + 1
f(3) = 9 – 6 + 1
f(3) = 4
Der Funktionswert an der Stelle x = 3 beträgt 4.
Übung 6: Bestimme die Lage der Parabel
Gegeben ist die quadratische Funktion f(x) = 2x² – 4x + 1. Bestimme die Lage der Parabel.
Lösung:
Wir bestimmen zunächst die Diskriminante der quadratischen Gleichung.
D = b² – 4ac
a = 2, b = -4, c = 1
D = (-4)² – 4 * 2 * 1
D = 8
Da die Diskriminante positiv ist, hat die quadratische Gleichung zwei unterschiedliche reelle Lösungen und die Parabel schneidet die x-Achse an zwei Stellen.
Da der Koeffizient a positiv ist, öffnet die Parabel nach oben und hat somit ein Minimum.
Die Parabel liegt also oberhalb der x-Achse und hat ein Minimum.
Als Schüler der 9. Klasse wirst du wahrscheinlich bereits mit quadratischen Funktionen und Gleichungen vertraut sein. Es handelt sich um eine wichtige und grundlegende Mathematik-Thematik, die dir in vielen Bereichen des Lebens begegnen wird.
Um deine Kenntnisse zu vertiefen und zu festigen, möchten wir dir hier einige Aufgaben mit Lösungen präsentieren:
Aufgabe 1
Gegeben ist die quadratische Funktion f(x) = 3x² – 6x – 9.
- Berechne die Nullstellen der Funktion.
- Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel.
- Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir f(x) = 0 und lösen nach x auf.
- Um den Scheitelpunkt der Parabel zu bestimmen, verwenden wir die Formel xS = -b/2a und berechnen zunächst die Ableitungen von f(x).
3x² – 6x – 9 = 0 | :3
x² – 2x – 3 = 0
(x – 3)(x + 1) = 0
Die Nullstellen sind x1 = 3 und x2 = -1.
f'(x) = 6x – 6
f“(x) = 6
Da f“(x) immer positiv ist, wissen wir, dass es sich um eine nach oben geöffnete Parabel handelt. Der Scheitelpunkt liegt bei der Stelle xS = -b/2a, also:
xS = -(-6)/(2*3) = 1
Jetzt setzen wir xS in f(x) ein:
f(1) = 3*1² – 6*1 – 9 = -12
Der Scheitelpunkt der Parabel liegt also bei den Koordinaten (1|-12).
Aufgabe 2
Gegeben ist die quadratische Funktion g(x) = -2x² + 8x + 5.
- Bestimme die Schnittpunkte der Funktion mit den Achsen.
- Berechne die Extremstellen.
- Um die Schnittpunkte mit den Achsen zu berechnen, setzen wir x bzw. y auf 0 und lösen nach der jeweils anderen Variable auf.
- Um die Extremstellen zu berechnen, setzen wir die Ableitung der Funktion gleich 0 und lösen nach x auf.
y = -2x² + 8x + 5
x-Achse: y = 0
-2x² + 8x + 5 = 0
x1 = -0,5 und x2 = 4
y-Achse: x = 0
y = -2*0² + 8*0 + 5 = 5
Die Schnittpunkte mit den Achsen sind also (0|5), (-0,5|0) und (4|0).
g'(x) = -4x + 8
-4x + 8 = 0
xE = 2
Jetzt setzen wir xE in g(x) ein:
g(2) = -2*2² + 8*2 + 5 = 9
Die Extremstelle der Parabel liegt also bei den Koordinaten (2|9).
Wir hoffen, dass dir diese Aufgaben geholfen haben, deine Kenntnisse zu vertiefen. Wenn du noch mehr Übungsaufgaben benötigst, findest du im Internet zahlreiche weitere Beispiele und Aufgabenstellungen.
Zusammenfassend können wir sagen, dass quadratische Funktionen und Gleichungen eine wichtige Rolle in der Mathematik spielen und dir auch im späteren Leben begegnen werden. Mit ausreichend Übung und Verständnis wirst du in der Lage sein, auch komplexere Aufgabenstellungen zu lösen.
Wir hoffen, dass dir dieser Beitrag dabei geholfen hat, dein Wissen zu erweitern und dich auf den richtigen Weg zu bringen. Viel Erfolg beim Lernen!