Stochastik Aufgaben Mit Lösungen Klasse 9

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Übung 1: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Ein Würfel wird zweimal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide Male dieselbe Augenzahl geworfen wird.

Lösung:

Die Wahrscheinlichkeit, dass beim ersten Wurf eine beliebige Augenzahl geworfen wird, ist 1/6. Beim zweiten Wurf muss diese Augenzahl erneut geworfen werden, also beträgt die Wahrscheinlichkeit 1/6.

Die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich durch Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten:

P(dieselbe Augenzahl) = 1/6 * 1/6 = 1/36

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Übung 2: Zufallsgrößen

Bei einer Umfrage werden 100 Personen befragt, ob sie lieber Pizza oder Pasta essen. Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Personen an, die Pizza bevorzugen.

1. Wie groß ist der Erwartungswert von X?
2. Wie groß ist die Standardabweichung von X?

Lösung:

1. Da die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person Pizza bevorzugt, 0,5 beträgt, ist der Erwartungswert von X:

E(X) = n * p = 100 * 0,5 = 50

2. Die Varianz von X beträgt:

Var(X) = n * p * (1-p) = 100 * 0,5 * 0,5 = 25

Daher ist die Standardabweichung von X:

σ(X) = sqrt(Var(X)) = sqrt(25) = 5

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Übung 3: Binomialverteilung

Eine Münze wird 10-mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass genau 5-mal Kopf geworfen wird.

Lösung:

Die Wahrscheinlichkeit, dass beim ersten Wurf Kopf geworfen wird, beträgt 0,5. Entsprechend beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass beim ersten Wurf Zahl geworfen wird, ebenfalls 0,5.

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 5-mal Kopf geworfen wird, lässt sich mit der Binomialverteilung berechnen:

P(X=5) = (10 über 5) * 0,5^5 * 0,5^5 = 0,246

Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass genau 5-mal Kopf geworfen wird, 0,246.

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Übung 4: Normalverteilung

Die Körpergröße der Schüler einer Klasse ist normalverteilt mit einem Mittelwert von 170 cm und einer Standardabweichung von 5 cm.

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler größer als 175 cm ist?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler zwischen 165 cm und 175 cm groß ist?

Lösung:

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler größer als 175 cm ist, lässt sich mit Hilfe der Standardnormalverteilung berechnen:

P(X > 175) = P(Z > (175-170)/5) = P(Z > 1) = 0,1587

Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler größer als 175 cm ist, 0,1587.

2. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler zwischen 165 cm und 175 cm groß ist, lässt sich ebenfalls mit Hilfe der Standardnormalverteilung berechnen:

P(165 < X < 175) = P((165-170)/5 < Z < (175-170)/5) = P(-1 < Z < 1) = 0,6826

Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler zwischen 165 cm und 175 cm groß ist, 0,6826.

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Übung 5: Poissonverteilung

In einem bestimmten Zeitraum kommen im Durchschnitt 3 Anrufe pro Minute in einer Telefonzentrale an.

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Minute genau 5 Anrufe eingehen?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in 2 Minuten mindestens 6 Anrufe eingehen?

Lösung:

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Minute genau 5 Anrufe eingehen, lässt sich mit der Poissonverteilung berechnen:

P(X=5) = e^(-3) * (3^5) / 5! = 0,1008

Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Minute genau 5 Anrufe eingehen, 0,1008.

2. Die Wahrscheinlichkeit, dass in 2 Minuten mindestens 6 Anrufe eingehen, lässt sich ebenfalls mit der Poissonverteilung berechnen:

P(X>=6) = 1 – P(X<=5)

P(X<=5) = e^(-6) * (6^0/0!) + e^(-6) * (6^1/1!) + e^(-6) * (6^2/2!) + e^(-6) * (6^3/3!) + e^(-6) * (6^4/4!) + e^(-6) * (6^5/5!) = 0,3834

P(X>=6) = 1 – 0,3834 = 0,6166

Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass in 2 Minuten mindestens 6 Anrufe eingehen, 0,6166.

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In der 9. Klasse beschäftigen sich Schülerinnen und Schüler oft mit dem Thema Stochastik. Dabei geht es um die Wahrscheinlichkeitsrechnung, die in vielen Situationen des täglichen Lebens eine wichtige Rolle spielt. Hier stellen wir einige Stochastik Aufgaben mit Lösungen für die 9. Klasse vor, die beim Lernen und Üben helfen.

Beispiel 1: Würfel

Ein Würfel wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Male eine gerade Zahl erscheint?

Lösung:

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass beim ersten Wurf eine gerade Zahl erscheint, beträgt 3/6.
2. Die Wahrscheinlichkeit, dass beim zweiten Wurf eine gerade Zahl erscheint, beträgt ebenfalls 3/6.
3. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Male eine gerade Zahl erscheint, beträgt das Produkt der Wahrscheinlichkeiten: 3/6 * 3/6 = 9/36 = 1/4.

Beispiel 2: Ziegenproblem

In einer TV-Show gibt es drei Türen. Hinter einer Tür ist ein Auto, hinter den anderen beiden Türen sind Ziegen. Der Kandidat darf eine Tür auswählen. Nach der Auswahl öffnet der Moderator eine der anderen beiden Türen und zeigt eine Ziege. Der Kandidat hat nun die Möglichkeit, bei seiner Auswahl zu bleiben oder auf die andere Tür zu wechseln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das Auto zu gewinnen?

Lösung:

1. Zunächst beträgt die Wahrscheinlichkeit, das Auto bei der ersten Auswahl zu gewinnen, 1/3.
2. Nachdem der Moderator eine Ziege gezeigt hat, bleiben zwei Türen übrig.
3. Wenn der Kandidat bei seiner ersten Auswahl bleibt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, das Auto zu gewinnen, weiterhin 1/3.
4. Wenn der Kandidat jedoch auf die andere Tür wechselt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, das Auto zu gewinnen, 2/3.

Fazit

Die Stochastik kann auf den ersten Blick komplex wirken, aber mit ein wenig Übung und Verständnis können Schülerinnen und Schüler schnell Fortschritte machen. Mit diesen Beispiel-Aufgaben haben wir gezeigt, dass die Lösungen oft auf einfache Multiplikation und Addition zurückzuführen sind. Wir hoffen, dass dieser Blogbeitrag dabei hilft, das Thema Stochastik besser zu verstehen und zu meistern.

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