Zentrische Streckung Aufgaben Lösungen Klasse 9

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1. Gegeben ist der Punkt A(2|3) und der Mittelpunkt M(4|2) einer Strecke. Bestimme den Punkt B, falls die Strecke AB durch eine zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor k=3 zum Bild AB‘ wird.

Lösung:

Zunächst berechnen wir den Vektor zwischen A und M:

m = M – A = (4|2) – (2|3) = (2|-1)

Mit dem Streckungsfaktor k=3 erhalten wir den Vektor:

n = k * m = 3 * (2|-1) = (6|-3)

Um den Punkt B zu finden, addieren wir den Vektor n zum Mittelpunkt M:

B = M + n = (4|2) + (6|-3) = (10|-1)

Also lautet die Lösung: B(10|-1)

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2. Gegeben ist das Dreieck ABC mit den Eckpunkten A(1|1), B(4|4) und C(2|5). Bestimme das Bild des Dreiecks bei einer zentrischen Streckung mit dem Streckungsfaktor k=2 und dem Streckungszentrum S(3|3).

Lösung:

Zunächst berechnen wir die Vektoren zwischen den Eckpunkten und dem Streckungszentrum S:

s_A = S – A = (3|3) – (1|1) = (2|2)

s_B = S – B = (3|3) – (4|4) = (-1|-1)

s_C = S – C = (3|3) – (2|5) = (1|-2)

Mit dem Streckungsfaktor k=2 erhalten wir die Vektoren:

n_A = k * s_A = 2 * (2|2) = (4|4)

n_B = k * s_B = 2 * (-1|-1) = (-2|-2)

n_C = k * s_C = 2 * (1|-2) = (2|-4)

Um die neuen Eckpunkte zu finden, addieren wir die Vektoren n zu den ursprünglichen Eckpunkten:

A‘ = A + n_A = (1|1) + (4|4) = (5|5)

B‘ = B + n_B = (4|4) + (-2|-2) = (2|2)

C‘ = C + n_C = (2|5) + (2|-4) = (4|1)

Das Bild des Dreiecks lautet also A'(5|5), B'(2|2), C'(4|1).

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3. Gegeben ist der Kreis k mit dem Mittelpunkt M(3|3) und dem Radius r=2. Bestimme das Bild des Kreises bei einer zentrischen Streckung mit dem Streckungsfaktor k=4 und dem Streckungszentrum S(1|1).

Lösung:

Zunächst berechnen wir den Vektor zwischen M und S:

m = S – M = (1|1) – (3|3) = (-2|-2)

Mit dem Streckungsfaktor k=4 erhalten wir den Vektor:

n = k * m = 4 * (-2|-2) = (-8|-8)

Um den Mittelpunkt des neuen Kreises zu finden, addieren wir den Vektor n zum Mittelpunkt M:

M‘ = M + n = (3|3) + (-8|-8) = (-5|-5)

Der Radius des neuen Kreises ist das Produkt aus dem Streckungsfaktor k und dem ursprünglichen Radius r:

r‘ = k * r = 4 * 2 = 8

Das Bild des Kreises lautet also k'(M'(-5|-5), r‘8).

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4. Gegeben ist das Viereck ABCD mit den Eckpunkten A(1|1), B(4|1), C(4|4) und D(1|4). Bestimme das Bild des Vierecks bei einer zentrischen Streckung mit dem Streckungsfaktor k=0,5 und dem Streckungszentrum S(2|2).

Lösung:

Zunächst berechnen wir die Vektoren zwischen den Eckpunkten und dem Streckungszentrum S:

s_A = S – A = (2|2) – (1|1) = (1|1)

s_B = S – B = (2|2) – (4|1) = (-2|1)

s_C = S – C = (2|2) – (4|4) = (-2|-2)

s_D = S – D = (2|2) – (1|4) = (1|-2)

Mit dem Streckungsfaktor k=0,5 erhalten wir die Vektoren:

n_A = k * s_A = 0,5 * (1|1) = (0,5|0,5)

n_B = k * s_B = 0,5 * (-2|1) = (-1|0,5)

n_C = k * s_C = 0,5 * (-2|-2) = (-1|-1)

n_D = k * s_D = 0,5 * (1|-2) = (0,5|-1)

Um die neuen Eckpunkte zu finden, addieren wir die Vektoren n zu den ursprünglichen Eckpunkten:

A‘ = A + n_A = (1|1) + (0,5|0,5) = (1,5|1,5)

B‘ = B + n_B = (4|1) + (-1|0,5) = (3|1,5)

C‘ = C + n_C = (4|4) + (-1|-1) = (3|3)

D‘ = D + n_D = (1|4) + (0,5|-1) = (1,5|3)

Das Bild des Vierecks lautet also A'(1,5|1,5), B'(3|1,5), C'(3|3), D'(1,5|3).

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5. Gegeben sind die Punkte A(1|1), B(4|1), C(4|4) und D(1|4). Bestimme das Bild des Punktes P(3|2) bei einer zentrischen Streckung mit dem Streckungsfaktor k=2 und dem Streckungszentrum S(2|2).

Lösung:

Zunächst berechnen wir den Vektor zwischen P und S:

p = S – P = (2|2) – (3|2) = (-1|0)

Mit dem Streckungsfaktor k=2 erhalten wir den Vektor:

n = k * p = 2 * (-1|0) = (-2|0)

Um den neuen Punkt P‘ zu finden, addieren wir den Vektor n zum ursprünglichen Punkt P:

P‘ = P + n = (3|2) + (-2|0) = (1|2)

Also lautet die Lösung: P'(1|2).

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In der neunten Klasse beschäftigen sich Schülerinnen und Schüler im Mathematikunterricht unter anderem mit der zentrischen Streckung. Dabei handelt es sich um eine geometrische Transformation, bei der ein Punkt um einen bestimmten Faktor in Bezug auf einen anderen Punkt gestreckt wird. Doch wie löst man Aufgaben zur zentrischen Streckung?

Was ist eine zentrische Streckung?

Bevor wir uns mit den Aufgaben und Lösungen zur zentrischen Streckung beschäftigen, wollen wir kurz erklären, was diese Transformation überhaupt ist. Bei einer zentrischen Streckung wird ein Punkt um einen bestimmten Faktor gestreckt, wobei der Streckfaktor immer größer als 0 ist. Der Streckmittelpunkt (auch Zentrum genannt) gibt dabei die Richtung der Streckung vor. Alle Punkte, die vom Streckmittelpunkt aus betrachtet auf gleicher Linie liegen, werden dabei auf das gleiche Vielfache gestreckt.

Aufgaben zur zentrischen Streckung in Klasse 9

Im Mathematikunterricht der neunten Klasse können verschiedene Aufgaben zur zentrischen Streckung gestellt werden. Eine mögliche Aufgabe könnte lauten:

1. Gegeben ist das Dreieck ABC mit den Eckpunkten A(2/1), B(5/2) und C(3/4). Der Streckfaktor beträgt k=2 und der Streckmittelpunkt liegt auf der Geraden g: x=1. Konstruiere das Bild des Dreiecks unter der zentrischen Streckung.
2. Gegeben ist das Viereck PQRS mit den Eckpunkten P(2/1), Q(5/2), R(3/4) und S(0/0). Der Streckfaktor beträgt k=0,5 und der Streckmittelpunkt liegt im Punkt M(3/3). Konstruiere das Bild des Vierecks unter der zentrischen Streckung.

Lösungen zu den Aufgaben zur zentrischen Streckung in Klasse 9

Die Lösungen zu den oben genannten Aufgaben könnten wie folgt aussehen:

1. Um das Bild des Dreiecks unter der zentrischen Streckung zu konstruieren, müssen wir zunächst den Streckfaktor k=2 auf die Seiten des Dreiecks anwenden. Dazu nehmen wir den Abstand der Eckpunkte zum Streckmittelpunkt auf der Geraden g und multiplizieren diesen mit dem Streckfaktor. Anschließend verbinden wir die gestreckten Punkte zu einem neuen Dreieck. Das Ergebnis ist das Bild des Dreiecks unter der zentrischen Streckung.
2. Auch hier müssen wir zunächst den Streckfaktor k=0,5 auf die Seiten des Vierecks anwenden. Dazu nehmen wir den Abstand der Eckpunkte zum Streckmittelpunkt M und multiplizieren diesen mit dem Streckfaktor. Anschließend verbinden wir die gestreckten Punkte zu einem neuen Viereck. Das Ergebnis ist das Bild des Vierecks unter der zentrischen Streckung.

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Die zentrische Streckung ist eine wichtige geometrische Transformation, die Schülerinnen und Schüler in der neunten Klasse im Mathematikunterricht kennenlernen. Durch das Lösen von Aufgaben zur zentrischen Streckung können sie ihr Verständnis für diese Transformation vertiefen und ihre Fähigkeiten im Umgang mit geometrischen Formen und Berechnungen verbessern.

Quellen:
https://www.mathebibel.de/zentrische-streckung
https://de.serlo.org/mathe/geometrie/abbildungen-und-kongruenzen/abbildungen/streckungen/zentrische-streckung

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